【題目】己知橢圓C:的左右焦點(diǎn)分別為,,直線l:與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).

若直線l過點(diǎn),且,求直線l的方程;

若以AB為直徑的圓過點(diǎn)O,點(diǎn)P是線段AB上的點(diǎn),滿足,求點(diǎn)P的軌跡方程.

【答案】(1) ;(2)().

【解析】

(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).聯(lián)立 整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0.根據(jù)弦長公式|AB|=,代入整理得,解得得到直線l的方程

(2)設(shè)直線l方程y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).聯(lián)立整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0.結(jié)合韋達(dá)定理及條件整理得3m2=8k2+8.從而有 |OP|2=(定值),得到點(diǎn)P的軌跡是圓,且去掉圓與x軸的交點(diǎn).寫出點(diǎn)P的軌跡方程即可.

(1)由橢圓定義得|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=8,則|AB|=

因?yàn)橹本l過點(diǎn)F1(-2,0),所以m=2k即直線l的方程為y=k(x+2).

設(shè)A(x1y1),B(x2,y2).

聯(lián)立 整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0.

x1+x2=,x1x2=. 由弦長公式|AB|=,

代入整理得,解得.所以直線l的方程為,

(2)設(shè)直線l方程y=kx+mA(x1,y1),B(x2,y2).

聯(lián)立整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0.

x1+x2=,x1x2=. 以AB為直徑的圓過原點(diǎn)O,即

x1x2+ y1y2=0.將y1=kx1+m,y2= kx2+m代入,整理得

(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0. x1+x2=,x1x2=代入,

整理得3m2=8k2+8. ∵ 點(diǎn)P是線段AB上的點(diǎn),滿足,

設(shè)點(diǎn)O到直線AB的距離為d,∴ |OP|=d,于是|OP|2=d2=(定值),

∴ 點(diǎn)P的軌跡是以原點(diǎn)為圓心,為半徑的圓,且去掉圓與x軸的交點(diǎn).

故點(diǎn)P的軌跡方程為().

練習(xí)冊系列答案
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【題目】數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)是高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)有機(jī)組成部分,是在基礎(chǔ)性、拓展性課程學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識解決數(shù)學(xué)的和現(xiàn)實(shí)的問題的一種有意義的主動(dòng)學(xué)習(xí),是以學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦主動(dòng)探索實(shí)踐和相互交流為主要學(xué)習(xí)方式的學(xué)習(xí)研究活動(dòng).某同學(xué)就在一次數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn),以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù).

;

;

(1)試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè),求出這個(gè)常數(shù);

(2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果,歸納出一個(gè)三角恒等式;

3)利用所學(xué)知識證明這個(gè)結(jié)論.

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【題目】我國古代著名的周髀算經(jīng)中提到:凡八節(jié)二十四氣,氣損益九寸九分六分分之一;冬至晷長一丈三尺五寸,夏至晷長一尺六寸意思是:一年有二十四個(gè)節(jié)氣,每相鄰兩個(gè)節(jié)氣之間的日影長度差為分;且“冬至”時(shí)日影長度最大,為1350分;“夏至”時(shí)日影長度最小,為160分則“立春”時(shí)日影長度為  

A. B. C. D.

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【題目】已知橢圓E:的離心率是分別為橢圓E的左右頂點(diǎn),B為上頂點(diǎn),的面積為直線l過點(diǎn)且與橢圓E交于P,Q兩點(diǎn).

求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

面積的最大值;

設(shè)直線與直線交于點(diǎn)N,證明:點(diǎn)N在定直線上,并寫出該直線方程.

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【題目】已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為,且經(jīng)過點(diǎn)M(1),過點(diǎn)P(2,1)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A,B.

1)求橢圓C的方程;

2)是否存在直線l,滿足?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.

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【題目】設(shè)函數(shù).

(1) 討論的單調(diào)性;

(2) 設(shè),當(dāng)時(shí), ,求的取值范圍.

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第一批次

第二批次

第三批次

已知在這名學(xué)生中隨機(jī)抽取名,抽到第一批次、第二批次中女學(xué)生的概率分別是.

(1)求的值;

(2)為了檢驗(yàn)研修的效果,現(xiàn)從三個(gè)批次中按分層抽樣的方法抽取名同學(xué)問卷調(diào)查,則三個(gè)批次被選取的人數(shù)分別是多少?

(3)若從第(2)小問選取的學(xué)生中隨機(jī)選出兩名學(xué)生進(jìn)行訪談,求“參加訪談的兩名同學(xué)至少有一個(gè)人來自第一批次”的概率.

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(2)已知點(diǎn) ,經(jīng)過點(diǎn)的直線與動(dòng)點(diǎn)的軌跡交于, 兩點(diǎn),求證:直線與直線的斜率之和為定值.

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1求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

2當(dāng)時(shí),函數(shù)有零點(diǎn),求的取值范圍.

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