Question

【題目】已知橢圓E：的離心率是，，分別為橢圓E的左右頂點，B為上頂點，的面積為直線l過點且與橢圓E交于P，Q兩點．

求橢圓E的標準方程；

求面積的最大值；

設直線與直線交于點N，證明：點N在定直線上，并寫出該直線方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見證明

【解析】

根據(jù)離心率和三角形的面積即可求出，，

分兩種情況，當PQ斜率不存在時，，當直線PQ的斜率存在時，設PQ的方程為，，由此利用根的判別式、韋達定理、弦長公式、，函數(shù)的性質，結合已知條件能求出的面積的最大值．

分兩種情況，PQ斜率不存在時，易知，當直線PQ的斜率存在時，直線的方程為，直線的方程為，即可整理化簡可得，解得即可．

解：由題意知，

，即，

的面積為2，

，

解得，，

橢圓C的標準方程為，

斜率不存在時，易知，，此時，

當直線PQ的斜率存在時，設PQ的方程為，，

設，，

將代入，整理可得，

，，

，

，

令，，

，

故面積的最大值

證明斜率不存在時，易知，

當直線PQ的斜率存在時，直線的方程為，直線的方程為，

，

，

解得，即N點的橫坐標為4，

綜上所述，點N在定直線上．