(14分)如圖,已知拋物線C1: y=x2, 與圓C2: x2+(y+1)2="1," 過y軸上一點A(0, a)(a>0)作圓C2的切線AD,切點為D(x0, y0).
(1)證明:(a+1)(y0+1)=1
(2)若切線AD交拋物線C1于E,且E為AD的中點,求點A縱坐標a.
(1)過D(x0, y0)的切線方程x0x+(y0+1)(y+1)=1 (*)
由(*)過點A(0, a), 將點A坐標代入(*)得(y0+1)(a+1)=1(2)
解析試題分析:(1)過D(x0, y0)的切線方程x0x+(y0+1)(y+1)=1 (*)
由(*)過點A(0, a), 將點A坐標代入(*)得(y0+1)(a+1)="1," 即證
(2)由于D(x0, y0),A(0, a) ∴AD的中點E()點E在拋物線y=x2上
∴
聯(lián)立消去x0, y0得2a3+a2-2a=0 即a(2a2+a-2)=0(a>0)
解得:a=
考點:直線與圓相切,直線與拋物線相交的位置關(guān)系
點評:第一問還可先由A,D兩點寫出直線方程,然后利用圓心到直線距離等于圓的半徑列關(guān)系式整理化簡
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本題滿分13分)已知橢圓的左焦點的坐標為,是它的右焦點,點是橢圓上一點, 的周長等于.
(1)求橢圓的方程;
(2)過定點作直線與橢圓交于不同的兩點,且(其中為坐標原點),求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
如圖所示,將一矩形花壇擴建成一個更大的矩形花壇,要求點在上, 點在上,且對角線過點,已知米,米.
(1)要使矩形的面積大于32平方米,則的長應(yīng)在什么范圍內(nèi)?
(2)當的長度為多少時,矩形花壇的面積最。坎⑶蟪鲎钚≈.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
如圖,已知點是橢圓的右頂點,若點在橢圓上,且滿足.(其中為坐標原點)
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與橢圓交于兩點,當時,求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分15分)
給定橢圓C:,稱圓心在原點O、半徑是的圓為橢圓C的“準圓”.已知橢圓C的一個焦點為,其短軸的一個端點到點的距離為.
(1)求橢圓C和其“準圓”的方程;
(2)若點是橢圓C的“準圓”與軸正半軸的交點,是橢圓C上的兩相異點,且軸,求的取值范圍;
(3)在橢圓C的“準圓”上任取一點,過點作直線,使得與橢圓C都只有一個交點,試判斷是否垂直?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知為坐標原點,點分別在軸軸上運動,且=8,動點滿足 =,設(shè)點的軌跡為曲線,定點為直線交曲線于另外一點
(1)求曲線的方程;
(2)求 面積的最大值。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知橢圓的中心為坐標原點O,焦點在x軸上,斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點,與=(3,-1)共線.
(1)求橢圓的離心率;
(2)設(shè)M為橢圓上任意一點,且(),證明為定值.
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