Question

設f(x)=log₂,F(x)=+f(x). 
(1)試判斷函數(shù)f(x)的單調性，并用函數(shù)單調性定義，給出證明；
(2)若f(x)的反函數(shù)為f^－1(x),證明: 對任意的自然數(shù)n(n≥3),都有f^－1(n)>;
(3)若F(x)的反函數(shù)F^－1(x),證明: 方程F^－1(x)=0有惟一解.

Answer 1

(1) F(x)在(－1，1）上是增函數(shù)，(2)證明略 (3)證明略

(1)由>0,且2－x≠0得F(x)的定義域為(－1，1)，
設－1＜x₁＜x₂＜1,則
F(x₂)－F(x₁)=()+()
,
∵x₂－x₁>0,2－x₁>0,2－x₂>0,∴上式第2項中對數(shù)的真數(shù)大于1.
因此F(x₂)－F(x₁)>0,F(x₂)>F(x₁),∴F(x)在(－1，1）上是增函數(shù). 
(2)證明： 由y=f(x)=得 2^y=,
∴f^－1(x)=,∵f(x)的值域為R，∴f^-－1(x)的定義域為R.
當n≥3時，
f^-1(n)>.
用數(shù)學歸納法易證2ⁿ>2n+1(n≥3),證略.
(3)證明:∵F(0)=,∴F^－1()=0,∴x=是F^－1(x)=0的一個根.
假設F^－1(x)=0還有一個解x₀(x₀≠),則F^-1(x₀)=0,于
是F(0)=x₀(x₀≠). 這是不可能的，故F^-1(x)=0有惟一解.