閱讀不等式2x+1＞3x的解法：
設f(x)=(
2
3
)x+(
1
3
)x，函數(shù)y=(
2
3
)x和y=(
1
3
)x在R內(nèi)都單調(diào)遞減；則f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減．
∵f（1）=1，∴當x＜1時，(
2
3
)x+(
1
3
)x＞1，當x≥1時，(
2
3
)x+(
1
3
)x≤1．
∵3x＞0，∴不等式2^+1＞3x的解為x＜1；
（1）試利用上面的方法解不等式2x+3x≥5x；
（2）證明：3x+4x=5x有且僅有一個實數(shù)解x=2．
分析：（1）可構(gòu)造函數(shù)g(x)=(
2
5
)x+(
3
5
)x，分析g（x）在（-∞，+∞）內(nèi)單調(diào)性，從而可求得不等式2x+3x≥5x的解集；
（2）構(gòu)造函數(shù)h(x)=(
3
5
)x+(
4
5
)x，利用其在R上的單調(diào)性即可證明3x+4x=5x有且僅有一個實數(shù)解x=2．
解答：解：（1）設g(x)=(
2
5
)x+(
3
5
)x，函數(shù)y=(
2
5
)x和y=(
3
5
)x在R內(nèi)都單調(diào)遞減；則g（x）在（-∞，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，
∵g（1）=1，當x≤1時，(
2
5
)x+(
3
5
)x≥1，當x＞1時，(
2
5
)x+(
3
5
)x＜1；
∴不等式2x+3x≥5x的解集為：{x|x≤1}；
（2）令h(x)=(
3
5
)x+(
4
5
)x，函數(shù)y=(
3
5
)x和y=(
4
5
)x在R內(nèi)都單調(diào)遞減；則h（x在（-∞，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，
∵h（2）=2，當x＜2時，(
3
5
)x+(
4
5
)x＞1，當x＞2時，(
3
5
)x+(
4
5
)x＜1；
∴有且只有一個實數(shù)x=2使得(
3
5
)x+(
4
5
)x=1，即3x+4x=5x有且僅有一個實數(shù)解x=2．
點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，難點在于合理構(gòu)造函數(shù)，并靈活應用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

請閱讀下列材料：
若兩個實數(shù)a1，a2滿足a1+a2=1，則
a
2
1
+
a
2
2
≥
1．
2
證明：構(gòu)造函數(shù)f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2=2x2-2x+a12+a22，因為對一切實數(shù)x，f（x）≥O恒成立，所以△=4-4×2（a12+a22）≤0，即
a
2
1
+
a
•2
2
≥
1
2
根據(jù)上述證明方法，若n個實數(shù)a1，a2，…，an滿足a1+a2+…+an=1時，你能得到的不等式為：
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：閱讀理解

仔細閱讀下面問題的解法：
設A=[0，1]，若不等式21-x-a＞0在A上有解，求實數(shù)a的取值范圍．
解：由已知可得  a＜21-x
令f（x）=21-x，不等式a＜21-x在A上有解，
∴a＜f（x）在A上的最大值
又f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，f（x）max=f（0）=2
∴a＜2即為所求．
學習以上問題的解法，解決下面的問題：
（1）已知函數(shù)f（x）=x2+2x+3 （-2≤x≤-1）求f（x）的反函數(shù)及反函數(shù)的定義域A；
（2）對于（1）中的A，設g（x）=
10-x
10+x
x∈A，試判斷g（x）的單調(diào)性；（不證）
（3）又若B={x|
10-x
10+x
＞2x+a-5}，若A∩B≠Φ，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

閱讀不等式2x+1＞3x的解法：
設數(shù)學公式，函數(shù)數(shù)學公式和數(shù)學公式在R內(nèi)都單調(diào)遞減；則f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減．
∵f（1）=1，∴數(shù)學公式．
∵3x＞0，∴數(shù)學公式；
（1）試利用上面的方法解不等式2x+3x≥5x；
（2）證明：3x+4x=5x有且僅有一個實數(shù)解x=2．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

閱讀不等式2x+1＞3x的解法：
設f(x)=(
2
3
)x+(
1
3
)x，函數(shù)y=(
2
3
)x和y=(
1
3
)x在R內(nèi)都單調(diào)遞減；則f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減．
∵f（1）=1，∴當x＜1時，(
2
3
)x+(
1
3
)x＞1，當x≥1時，(
2
3
)x+(
1
3
)x≤1．
∵3x＞0，∴不等式2^+1＞3x的解為x＜1；
（1）試利用上面的方法解不等式2x+3x≥5x；
（2）證明：3x+4x=5x有且僅有一個實數(shù)解x=2．

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