【題目】已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C1的長軸長為8,短半軸為2,拋物線C2的頂點(diǎn)在原點(diǎn)且焦點(diǎn)為橢圓C1的右焦點(diǎn).
(1)求拋物線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過(1,0)的兩條相互垂直的直線與拋物線C2有四個(gè)交點(diǎn),求這四個(gè)點(diǎn)圍成四邊形的面積的最小值.
【答案】(1)y2=8x;(2)96.
【解析】
(1)由已知直接可求出橢圓的,運(yùn)用橢圓之間的關(guān)系求出,最后可求出拋物線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2) 由題意易得兩條直線的斜率存在且不為0,設(shè)其中一條直線l1的斜率為k,設(shè)出直線l1方程與拋物線方程聯(lián)立,利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系,可以求出弦長,同理求出直線l2與拋物線相交時(shí),弦長的表達(dá)式,最后求出面積表達(dá)式,利用基本不等式可以求出四邊形的面積的最小值.
(1)設(shè)橢圓半焦距為c(c>0),由題意得c.
設(shè)拋物線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p>0),則,∴p=4,
∴拋物線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=8x;
(2)由題意易得兩條直線的斜率存在且不為0,設(shè)其中一條直線l1的斜率為k,直線l1方程為y=k(x﹣1),則另一條直線l2的方程為y(x﹣1),
聯(lián)立得k2x2﹣(2k2+8)x+k2=0,△=32k2+64>0,設(shè)直線l1與拋物線C2的交點(diǎn)為A,B,
則則|AB||x2﹣x1|,
同理設(shè)直線l2與拋物線C2的交點(diǎn)為C,D,
則|CD|4.
∴四邊形的面積S|AB||CD|4.
,
令t2,則t≥4(當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時(shí)等號成立),.
∴當(dāng)兩直線的斜率分別為1和﹣1時(shí),四邊形的面積最小,最小值為96.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程為,曲線的極坐標(biāo)方程為,以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),極軸為的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系.
(1)求和的參數(shù)方程;
(2)已知射線,將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,且與交于兩點(diǎn), 與交于兩點(diǎn),求取得最大值時(shí)點(diǎn)的極坐標(biāo).
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【題目】已知橢圓的離心率為,,分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),直線過點(diǎn)與橢圓交于、兩點(diǎn),且的周長為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)是否存在直線使的面積為?若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由.
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【題目】(本小題滿分12分)
設(shè)函數(shù)f(x)=x+ax2+blnx,曲線y=f(x)過P(1,0),且在P點(diǎn)處的切斜線率為2.
(I)求a,b的值;
(II)證明:f(x)≤2x-2。
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【題目】已知橢圓: 的左,右焦點(diǎn)分別為,且與短軸的一個(gè)端點(diǎn)Q構(gòu)成一個(gè)等腰直角三角形,點(diǎn)P()在橢圓上,過點(diǎn)作互相垂直且與x軸不重合的兩直線AB,CD分別交橢圓于A,B,C,D且M,N分別是弦AB,CD的中點(diǎn)
(1)求橢圓的方程
(2)求證:直線MN過定點(diǎn)R()
(3)求面積的最大值
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【題目】設(shè),命題p:函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增;q:函數(shù)僅在處有極值.
(1)若命題q是真命題,求a的取值范圍;
(2)若命題是真命題,求a的取值范圍.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),),曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求曲線的極坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)曲線與曲線的交點(diǎn)分別為,求的最大值及此時(shí)直線的傾斜角.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某高校大一新生中,來自東部地區(qū)的學(xué)生有2400人、中部地區(qū)學(xué)生有1600人、西部地區(qū)學(xué)生有1000人.從中選取100人作樣本調(diào)研飲食習(xí)慣,為保證調(diào)研結(jié)果相對準(zhǔn)確,下列判斷正確的有( )
①用分層抽樣的方法分別抽取東部地區(qū)學(xué)生48人、中部地區(qū)學(xué)生32人、西部地區(qū)學(xué)生20人;
②用簡單隨機(jī)抽樣的方法從新生中選出100人;
③西部地區(qū)學(xué)生小劉被選中的概率為;
④中部地區(qū)學(xué)生小張被選中的概率為
A. ①④ B. ①③ C. ②④ D. ②③
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【題目】某省確定從2021年開始,高考采用“”的模式,取消文理分科,即“3”包括語文、數(shù)學(xué)、外語,為必考科目;“1”表示從物理、歷史中任選一門;“2”則是從生物、化學(xué)、地理、政治中選擇兩門,共計(jì)六門考試科目.某高中從高一年級2000名學(xué)生(其中女生900人)中,采用分層抽樣的方法抽取名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.
(1)已知抽取的名學(xué)生中含男生110人,求的值及抽取到的女生人數(shù);
(2)學(xué)校計(jì)劃在高二上學(xué)期開設(shè)選修中的“物理”和“歷史”兩個(gè)科目,為了了解學(xué)生對這兩個(gè)科目的選課情況,對在(1)的條件下抽取到的n名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查(假定每名學(xué)生在這兩個(gè)科目中必須選擇一個(gè)科目且只能選擇一個(gè)科目).下表是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的列聯(lián)表,請將列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān)?
說明你的理由;
(3)在(2)的條件下,從抽取的選擇“物理”的學(xué)生中按分層抽樣抽取6人,再從這6名學(xué)生中抽取2人,對“物理”的選課意向作深入了解,求2人中至少有1名女生的概率.
附:,其中.
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