【題目】在四棱錐P–ABCD中,,.
(1)設(shè)AC與BD相交于點M,,且平面PCD,求實數(shù)m的值;
(2)若,,,且,求二面角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)由AB∥CD,得到,由MN∥平面PCD,得MN∥PC,從而,由此能實數(shù)m的值;
(2)由AB=AD,∠BAD=60°,知△ABD為等邊三角形,推導出PD⊥DB,PD⊥AD,從而PD⊥平面ABCD,以D為坐標原點,的方向為x,y軸的正方向建立空間直角坐標系,由此能求出二面角B﹣PC﹣B的余弦值.
解:(1)因為,所以,即.
因為平面PCD,平面PAC,平面平面,
所以.
所以,即.
(2)因為,,可知為等邊三角形,
所以,又,
故,所以.
由已知,,所以平面ABCD,
如圖,以D為坐標原點,的方向為x,y軸的正方向建立空間直角坐標系,
設(shè),則,,
所以,,,,
則,,
設(shè)平面PBC的一個法向量為,則有
即.
令,則,即,
設(shè)平面APC的一個法向量為,則有
,即
令,則,即.
所以
設(shè)二面角的平面角為,則.
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【題目】已知P是曲線上的點,Q是曲線上的點,曲線與曲線關(guān)于直線對稱,M為線段PQ的中點,O為坐標原點,則的最小值為________.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若方程在內(nèi)有兩個不等實根,求的取值范圍(其中為自然對數(shù)的底);
(2)令,如果圖象與軸交于,,中點為,求證:.
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【題目】已知函數(shù),有下列說法:
①函數(shù)對任意,都有成立;
②函數(shù)在上單調(diào)遞減;
③函數(shù)在上有3個零點;
④若函數(shù)的值域為,設(shè)是中所有有理數(shù)的集合,若簡分數(shù)(其中,為互質(zhì)的整數(shù)),定義函數(shù),則在中根的個數(shù)為5;
其中正確的序號是______(填寫所有正確結(jié)論的番號).
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【題目】已知函數(shù)f(x)=(m+2)是冪函數(shù),設(shè)a=log54,b=,c=0.5–0.2,則f(a),f(b),f(c)的大小關(guān)系是
A.f(a)<f(b)<f(c)B.f(b)<f(c)<f(a)
C.f(c)<f(b)<f(a)D.f(c)<f(a)<f(b)
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【題目】某廠家舉行大型的促銷活動,經(jīng)測算某產(chǎn)品當促銷費用為萬元時,銷售量萬件滿足(其中, 為正常數(shù)),現(xiàn)假定生產(chǎn)量與銷售量相等,已知生產(chǎn)該產(chǎn)品萬件還需投入成本萬元(不含促銷費用),產(chǎn)品的銷售價格定為萬元/萬件.
(1)將該產(chǎn)品的利潤萬元表示為促銷費用萬元的函數(shù);
(2)促銷費用投入多少萬元時,廠家的利潤最大.
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【題目】雙曲線C:的左、右焦點為F1,F2,直線yb與C的右支相交于點P,若|PF1|=2|PF2|,則雙曲線C的離心率為_____;若該雙曲線的焦點到其漸近線的距離是,則雙曲線的方程為_____.
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【題目】四川省閬中中學某部根據(jù)運動場地的影響,但為盡大可能讓學生都參與到運動會中來,在2018春季運動會中設(shè)置了五個項目,其中屬于跑步類的兩項,分別是200米和400米,另外三項分別為跳繩、跳遠、跳高學校要求每位學生必須參加,且只參加其中一項,學校780名同學參加各運動項目人數(shù)統(tǒng)計如下條形圖:
其中參加跑步類的人數(shù)所占頻率為,為了了解學生身體健康與參加運動項目之間的關(guān)系,用分層抽樣的方法從這780名學生中抽取13人進行分析.
1求條形圖中m和n的值以及抽取的13人中參加200米的學生人數(shù);
2現(xiàn)從抽取的參加400米和跳繩兩個項目中隨機抽取4人,記其中參加400米跑的學生人數(shù)為X,求離散型隨機變量X的分布列與數(shù)學期望.
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