試題分析:(1)根據題意,設出圓心(a,b),然后圓
過兩點
,其中垂線必定過圓心,且圓心
在
上.聯立直線的方程組得到交點坐標即為圓心坐標,進而兩點距離公式求解半徑,得到圓的方程。
(2)因為四邊形PAMB的面積S=S
△PAM+S
△PBM=
|AM|·|PA|+
|BM|·|PB|,根據兩個三三角形的底相同,高相等,那么即可知S=2|PA|,只需要求解切線長|PA|的最小值即可。
解:(1)設圓
的方程為:(x-a)
2+(y-b)
2=r
2(r>0).
根據題意,得
﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分
解得a=b=1,r=2, ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分
故所求圓M的方程為(x-1)
2+(y-1)
2=4. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍6分
(2)因為四邊形PAMB的面積S=S
△PAM+S
△PBM=
|AM|·|PA|+
|BM|·|PB|,
又|AM|=|BM|=2,|PA|=|PB|, 所以S=2|PA|, ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍8分而|PA|=
=
, 即S=2
.
因此要求S的最小值,只需求|PM|的最小值即可,
即在直線3x+4y+8=0上找一點P,使得|PM|的值最小,﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍9分
所以|PM|
min=
=3, ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍10分
所以四邊形PAMB面積的最小值為S=2
=2
=2
. ﹍﹍﹍12分
點評:結合該試題的關鍵是理解圓心和半徑是求解圓的方程核心,同時直線與圓相切時,構成的四邊形的面積問題,能否轉化為一條切線和一個半徑以及一個圓心到圓外一點P的三角形的面積的最值,最終化簡為只需要求解切線長|PA|的最小值即可。。