(2010•黃岡模擬)已知O為坐標原點,向量
OA
=(sinα,1),
OB
=(cosα,0),
OC
=(-sinα,2),點P是直線AB上的一點,且點B分有向線段
AP
的比為1.
(1)記函數(shù)f(α)=
PB
CA
,α∈(-
π
8
,
π
2
),討論函數(shù)f(α)的單調(diào)性,并求其值域;
(2)若O,P,C三點共線,求|
OA
+
OB
|的值.
分析:(1)由已知中O為坐標原點,向量
OA
=(sinα,1),
OB
=(cosα,0),
OC
=(-sinα,2),點P是直線AB上的一點,且點B分有向線段
AP
的比為1,我們代入定比分點坐標公式,可以求出點P的坐標,進而根據(jù)函數(shù)f(α)=
PB
CA
,求出函數(shù)的解析式,利用除冪公式,及輔助解公式,將函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)的形式后,結(jié)合α∈(-
π
8
,
π
2
)及正弦函數(shù)的性質(zhì),我們即可求出函數(shù)f(α)的單調(diào)性,并求其值域;
(2)若O,P,C三點共線,我們向量共線的充要條件,求出tanα的值,結(jié)合|
OA
+
OB
|=
(sinα+cosα)2+1
=
sin2α+2
,利用萬能公式,代入即可求出|
OA
+
OB
|的值.
解答:解:依題意知:A(sinα,1),B(cosα,0),C(-sinα,2),
設(shè)點P的坐標為(x,y),
∵點B分有向線段
AP
的比為1
∴cosα=
sinα+x
1+1
,0=
1+y
1+1
,
∴x=2cosα-sinα,y=-1,
∴點P的坐標為(2cosα-sinα,-1)(2分)
(1)∵
PB
=(sinα-cosα,1),
CA
=(2sinα,-1)
∴f(α)=
PB
CA
=2sin2α-2sinαcosα-1=-(sin2α+cos2α)=-
2
sin(2α+
π
4
),(4分)
由2α+
π
4
∈(0,
4
)可知函數(shù)f(α)的單調(diào)遞增區(qū)間為(
π
8
,
π
2
),單調(diào)遞減區(qū)間為(-
π
8
,
π
8
),(6分)
 所以sin(2α+
π
4
)∈(-
2
2
,1],其值域為[-
2
,1);(8分)
(2)由O,P,C三點共線的-1×(-sinα)=2×(2cosα-sinα),
∴tanα=
4
3
,(10分)
∴sin2α=
2sinαcosα
sin2α+cos2α
=
2tanα
1+tan2α
=
24
25
,
∴|
OA
+
OB
|=
(sinα+cosα)2+1
=
sin2α+2
=
74
5
(12分)
點評:本題考查的知識點是正弦型函數(shù)的單調(diào)性,兩角和與差的正弦,二倍角的正弦,二倍角的余弦,三點共線,定比分點坐標公式,其中(1)的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件求出函數(shù)f(α)=
PB
CA
的解析式,并化簡為正弦型函數(shù)的形式,將問題轉(zhuǎn)化為確定正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域,(2)的關(guān)鍵是根據(jù)向量共線的充要條件,求出tanα的值.
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