已知函數(shù)f（x）=（x+1）lnx-x+1．
（Ⅰ）若xf′（x）≤x2+ax+1，求a的取值范圍；
（Ⅱ）證明：（x-1）f（x）≥0．
（Ⅰ）函數(shù)的定義域為（0，+∞）
求導(dǎo)函數(shù)，可得f′(x)=
x+1
x
+lnx-1=lnx+
1
x
，…（2分）
∴xf′（x）=xlnx+1，
題設(shè)xf′（x）≤x2+ax+1等價于lnx-x≤a，
令g（x）=lnx-x，則g′（x）=
1
x
-1．…（4分）
當0＜x＜1時，g′（x）＞0；當x≥1時，g′（x）≤0，
∴x=1是g（x）的最大值點，
∴g（x）≤g（1）=-1．…（6分）
綜上，a的取值范圍是[-1，+∞）．…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）≤g（1）=-1，即lnx-x+1≤0；
當0＜x＜1時，f（x）=（x+1）lnx-x+1=xlnx+（lnx-x+1）≤0；…（10分）
當x≥1時，f（x）=lnx+（xlnx-x+1）=lnx+x（lnx+
1
x
-1）≥0
所以（x-1）f（x）≥0…（13分）
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=-x3+ax2-4，（a∈R）
（Ⅰ）若y=f（x）的圖象在點P（1，f（1））處的切線的傾斜角為
π
4
，求a；
（Ⅱ）設(shè)f（x）的導(dǎo)函數(shù)是f′（x），在（Ⅰ）的條件下，若m，n∈[-1，1]，求f（m）+f′（n）的最小值．
（Ⅲ）若存在x0∈（0，+∞），使f（x0）＞0，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知直線y=kx+1與曲線y=lnx有公共點，則實數(shù)k的取值范圍是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

某商品每件成本5元，售價14元，每星期賣出75件．如果降低價格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)m與商品單價的降低值x（單位：元，0≤x＜9）的平方成正比，已知商品單價降低1元時，一星期多賣出5件．
（1）將一星期的商品銷售利潤y表示成x的函數(shù)；
（2）如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知某商品的進貨單價為1元/件，商戶甲往年以單價2元/件銷售該商品時，年銷量為1萬件，今年擬下調(diào)銷售單價以提高銷量，增加收益．據(jù)測算，若今年的實際銷售單價為x元/件（1≤x≤2），今年新增的年銷量（單位：萬件）與（2-x）2成正比，比例系數(shù)為4．
（1）寫出今年商戶甲的收益y（單位：萬元）與今年的實際銷售單價x間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）商戶甲今年采取降低單價，提高銷量的營銷策略是否能獲得比往年更大的收益（即比往年收益更多）？說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

某商品每件成本9元，售價為30元，每星期賣出432件．如果降低價格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價的降低值x（單位：元，0≤x≤21）的平方成正比．已知商品售價降低2元時，一星期多賣出24件．
（Ⅰ）將一個星期內(nèi)該商品的銷售利潤表示成x的函數(shù)；
（Ⅱ）如何定價才能使一個星期該商品的銷售利潤最大？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=2x+
2
x
+alnx，a∈R．
（1）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．
（2）記函數(shù)g（x）=x2[f′（x）+2x-2]，若g（x）的最小值是-6，求函數(shù)f（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c，曲線y=f（x）在x=1處的切線為l：3x-y+1=0，當x=
2
3
時，y=f（x）有極值．
（1）求a、b、c的值；
（2）求y=f（x）在[-3，1]上的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

若在上可導(dǎo)，，則____________．

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同步練習(xí)冊答案