【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形是等腰梯形, , 平面 , .

(1)求證: 平面;

(2)求二面角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析;(2) .

【解析】試題分析:(1)由題意及圖可得,先由條件證得,再根據(jù),再由線面垂直的判定定理即可證得線面垂直;(2)解法一:由(1)知, ,可得出,結(jié)合平面,知兩兩垂直,因此可以為坐標(biāo)原點,分別以, , 所在的直線為軸, 軸, 軸建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè),表示出各點的坐標(biāo),再求出兩個平面的法向量的坐標(biāo),即可由公式求出二面角的余弦值;解法二:取的中點,連接,由于,因此,又平面 平面,可證明出為二面角的平面角,再解三角形即可求出二面角的余弦值.

試題解析:1)因為四邊形是等腰梯形, ,

,所以.

,所以

因此, ,

,且, 平面,

所以平面.

2)解法一:由(1)知,所以

平面,因此兩兩垂直,以為坐標(biāo)原點,分別以, 所在的直線為軸, 軸, 軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè),則, , ,

因此,

設(shè)平面的法向量為

由于,取,則,

由于是平面的一個法向量,則

所以二面角的余弦值為.

解法二:如圖,取的中點,連接

由于,因此,

平面, 平面,

所以,

由于 平面,

所以平面,故,所以為二面角的平面角

在等腰三角形中,由于

因此,

,所以,

,因此二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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A. 曲線上不存在完美點

B. 曲線上只存在一個完美點,其橫坐標(biāo)大于

C. 曲線上只存在一個完美點,其橫坐標(biāo)大于且小于

D. 曲線上存在兩個完美點,其橫坐標(biāo)均大于

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【題目】某大型娛樂場有兩種型號的水上摩托,管理人員為了了解水上摩托的使用及給娛樂城帶來的經(jīng)濟收入情況,對該場所最近6年水上摩托的使用情況進行了統(tǒng)計,得到相關(guān)數(shù)據(jù)如表:

年份

2011

2012

2013

2014

2015

2016

年份代碼

1

2

3

4

5

6

使用率

11

13

16

15

20

21

(1)請根據(jù)以上數(shù)據(jù),用最小二乘法求水上摩托使用率關(guān)于年份代碼的線性回歸方程,并預(yù)測該娛樂場2018年水上摩托的使用率;

(2)隨著生活水平的提高,外出旅游的老百姓越來越多,該娛樂場根據(jù)自身的發(fā)展需要,準(zhǔn)備重新購進一批水上摩托,其型號主要是目前使用的Ⅰ型、Ⅱ型兩種,每輛價格分別為1萬元、1.2萬元.根據(jù)以往經(jīng)驗,每輛水上摩托的使用年限不超過四年.娛樂場管理部對已經(jīng)淘汰的兩款水上摩托的使用情況分別抽取了50輛進行統(tǒng)計,使用年限如條形圖所示:

已知每輛水上摩托從購入到淘汰平均年收益是0.8萬元,若用頻率作為概率,以每輛水上摩托純利潤(純利潤收益購車成本)的期望值為參考值,則該娛樂場的負責(zé)人應(yīng)該選購Ⅰ型水上摩托還是Ⅱ型水上摩托?

附:回歸直線方程為,其中 .

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