若存在實(shí)常數(shù)和,使得函數(shù)和對其定義域上的任意實(shí)數(shù)分別滿足:和,則稱直線為和的“隔離直線”.已知,為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求的極值;
(2)函數(shù)和是否存在隔離直線?若存在,求出此隔離直線方程;若不存在,請說明理由.
(1)當(dāng)時,取極小值,其極小值為(2)函數(shù)和存在唯一的隔離直線
解析試題分析:(1) ,
.
當(dāng)時,.
當(dāng)時,,此時函數(shù)遞減;
當(dāng)時,,此時函數(shù)遞增;
∴當(dāng)時,取極小值,其極小值為. …………………………………6分
(2)解法一:由(1)可知函數(shù)和的圖象在處有公共點(diǎn),因此若存在和的隔離直線,則該直線過這個公共點(diǎn).
設(shè)隔離直線的斜率為,則直線方程為,即.
由,可得當(dāng)時恒成立.
,
由,得.
下面證明當(dāng)時恒成立.
令,則
,
當(dāng)時,.
當(dāng)時,,此時函數(shù)遞增;
當(dāng)時,,此時函數(shù)遞減;
∴當(dāng)時,取極大值,其極大值為.
從而,即恒成立.
∴函數(shù)和存在唯一的隔離直線.……………12分
解法二: 由(1)可知當(dāng)時, (當(dāng)且僅當(dāng)時取等號) .
若存在和的隔離直線,則存在實(shí)常數(shù)和
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù).
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若當(dāng)x∈[-2,2]時,不等式f(x)>m恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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已知函數(shù).
(Ⅰ)若曲線在和處的切線互相平行,求的值;
(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)設(shè),若對任意,均存在,使得,求的取值范圍.
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若是函數(shù)在點(diǎn)附近的某個局部范圍內(nèi)的最大(。┲,則稱是函數(shù)的一個極值,為極值點(diǎn).已知,函數(shù).
(Ⅰ)若,求函數(shù)的極值點(diǎn);
(Ⅱ)若不等式恒成立,求的取值范圍.
(為自然對數(shù)的底數(shù))
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已知函數(shù),。
(1)若對任意的實(shí)數(shù)a,函數(shù)與的圖象在x = x0處的切線斜率總想等,求x0的值;
(2)若a > 0,對任意x > 0不等式恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
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已知,,是否存在實(shí)數(shù),使同時滿足下列兩個條件:(1)在上是減函數(shù),在上是增函數(shù);(2)的最小值是,若存在,求出,若不存在,說明理由.
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已知函數(shù),。
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若與的圖象恰有兩個交點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍。
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已知函數(shù),(其中實(shí)數(shù),是自然對數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)當(dāng)時,求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程;
(Ⅱ)求在區(qū)間上的最小值;
(Ⅲ) 若存在,使方程成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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設(shè)函數(shù)
(1)求函數(shù)的最小正周期;
(2)設(shè)函數(shù)對任意,有,且當(dāng)時,;求函數(shù)在上的解析式。
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