Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：的離心率為，短軸長是2．

（1）求a，b的值；
（2）設(shè)橢圓C的下頂點(diǎn)為D，過點(diǎn)D作兩條互相垂直的直線l₁，l₂，這兩條直線與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M，N．設(shè)l₁的斜率為k(k≠0)，△DMN的面積為S，當(dāng)時(shí)，求k的取值范圍．

Answer 1

（1）a＝2，b＝1（2）.

試題分析：（1）兩個(gè)未知數(shù)，兩個(gè)獨(dú)立條件.由 a²＝b²＋c²，解得a＝2，b＝1．正確解答本題需注意短軸長為而不是（2）本題關(guān)鍵是用l₁的斜率為k表示出△DMN的面積，因?yàn)闉橹本�l₁與橢圓C的交點(diǎn)，所以由直線l₁方程與橢圓C的方程聯(lián)立方程組得M坐標(biāo)為，從而有．由于N與M相似性，可用代k直接得，所以△DMN的面積S＝，到此只需將S代入，并化簡可得k的取值范圍為．
試題解析：
（1）設(shè)橢圓C的半焦距為c，則由題意得，又a²＝b²＋c²，
解得a＝2，b＝1．                                   4分
（2）由（1）知，橢圓C的方程為
所以橢圓C與y軸負(fù)半軸交點(diǎn)為D(0，－1)．
因?yàn)閘₁的斜率存在，所以設(shè)l₁的方程為y＝kx－1．
代入，得，
從而．  6分
用代k得
所以△DMN的面積S＝ 8分
則＝  
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824041506180728.png" style="vertical-align:middle;" />，即
整理得4k⁴－k²－14＜0，解得＜k²＜2
所以0＜k²＜2，即＜k＜0或0＜k＜．
從而k的取值范圍為．