Question

設橢圓的對稱中心為坐標原點，其中一個頂點為A（0，2），右焦點F與點的距離為2．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在經過點（0，-3）的直線l，使直線l與橢圓相交于不同的兩點M，N滿足？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接根據條件得到以及b=2；求出a²=12即可得到橢圓的方程；
（2）設直線l的方程為y=kx-3（k≠0），由|AM|=|AN|知點A在線段MN的垂直平分線上；聯(lián)立直線方程和橢圓方程得到k的屈指范圍以及點M，N的坐標和k的關系，結合點A在線段MN的垂直平分線對應的斜率相乘等于-1即可求出結論．
解答：解：（1）依題意，設橢圓方程為，
則其右焦點坐標為，由|FB|=2，
得，即，故．
又∵b=2，∴a²=12，
從而可得橢圓方程為．--（6分）
（2）由題意可設直線l的方程為y=kx-3（k≠0），由|AM|=|AN|知點A在線段MN的垂直平分線上，
由消去y得x²+3（kx-3）²=12，即可得方程（1+3k²）x²-18kx+15=0…（*）
當方程（*）的△=（-18k）²-4（1+3k²）×15=144k²-60＞0
即時方程（*）有兩個不相等的實數根．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），線段MN的中點P（x，y），
則x₁，x₂是方程（*）的兩個不等的實根，故有．
從而有  ，．
于是，可得線段MN的中點P的坐標為
又由于k≠0，因此直線AP的斜率為，
由AP⊥MN，得，即5+6k²=9，解得，
∴，
∴綜上可知存在直線l：滿足題意．--------（13分）
點評：本題考查了橢圓的標準方程、直線與圓錐曲線的位置關系，是一道綜合性的試題，考查了學生綜合運用知識解決問題的能力．