Question

【題目】在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，點D是BC的中點．

（1）求證：A1C∥平面AB1D；
（2）設M為棱CC1的點，且滿足BM⊥B1D，求證：平面AB1D⊥平面ABM．

Answer 1

【答案】
（1）證明：記A1B∩AB1=O，連接OD．

∵四邊形AA1B1B為矩形，∴O是A1B的中點，

又∵D是BC的中點，∴A1C∥OD．

又∵A1C平面AB1D，OD平面AB1D，

∴A1C∥平面AB1D．

（2）證明：∵△ABC是正三角形，D是BC的中點，

∴AD⊥BC．

∵平面ABC⊥平面BB1C1C，

平面ABC∩平面BB1C1C=BC，AD平面ABC，

∴AD⊥平面BB1C1C．

或利用CC1⊥平面ABC證明AD⊥平面BB1C1C．

∵BM平面BB1C1C，∴AD⊥BM．

又∵BM⊥B1D，AD∩B1D=D，AD，B1D平面AB1D，

∴BM⊥平面AB1D．

又∵BM平面ABM，

∴平面AB1D⊥平面ABM．

【解析】（1）先設A1B∩AB1=O，連接OD，再利用三角形的中位線可證A1C∥OD，進而利用線面平行的判定定理可證A1C∥平面AB1D；（2）先利用面面垂直的性質定理可證AD⊥平面BB1C1C，進而可證AD⊥BM，再利用線面垂直的判定定理可證BM⊥平面AB1D，進而利用面面垂直的判定定理可證平面AB1D⊥平面ABM．