Question

數(shù)列的前n項(xiàng)和為,存在常數(shù)A,B,C,使得對任意正整數(shù)n都成立.
⑴若數(shù)列為等差數(shù)列,求證:3A B+C=0;
⑵若設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,求;
⑶若C=0,是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列,設(shè)數(shù)列的前2014項(xiàng)和為P,求不超過P的最大整數(shù)的值.

Answer 1

（1）詳見解析，（2），（3）2014.

試題分析：（1）研究特殊數(shù)列問題，一般從其特征量出發(fā). 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045835799470.png" style="vertical-align:middle;" />為等差數(shù)列,設(shè)公差為,由,得,根據(jù)恒等式對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等得：所以代入得：. （2）本題實(shí)質(zhì)為求通項(xiàng). 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045835971923.png" style="vertical-align:middle;" />,所以,當(dāng)時,, 所以即即,而,所以數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,所以.由錯位相減法得，（3）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045835799470.png" style="vertical-align:middle;" />是首項(xiàng)為的等差數(shù)列,由⑴知,公差,所以.化簡數(shù)列通項(xiàng)，再由裂項(xiàng)相消法得，所以不超過的最大整數(shù)為2014.
解 ⑴因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045835799470.png" style="vertical-align:middle;" />為等差數(shù)列,設(shè)公差為,由,
得,           2分
對任意正整數(shù)所以                   4分
所以  .                       6分
⑵ 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045835971923.png" style="vertical-align:middle;" />,所以,
當(dāng)時,,
所以即即,而,
所以數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,所以.      9分
于是.所以①,,②
得.
所以.                                12分
⑶ 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045835799470.png" style="vertical-align:middle;" />是首項(xiàng)為的等差數(shù)列,由⑴知,公差,所以.
而
,                    14分
所以不超過的最大整數(shù)為2014.                         16分