【題目】如圖,四邊形為菱形,四邊形為平行四邊形,設(shè)與相交于點(diǎn), .
(1)證明:平面平面;
(2)若與平面所成角為60°,求二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析;(2).
【解析】試題分析:(1)根(1)要證面面垂直,需要找線面垂直,本題中重點(diǎn)分析線段,利用條件底面是菱形可得,通過全等可知,從而,故是平面的垂線,從而得證;(2)涉及二面角的計算,一般需要建系設(shè)點(diǎn),計算平面的法向量,利用二面角與法向量夾角之間的關(guān)系處理,需要注意建系時分析清楚哪三條線互相垂直.
試題解析:
(1)證明:連接,
∵四邊形為菱形,
∵,
在和中,
, ,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴平面,
∵平面,
∴平面平面;
(2)
解法一:過作垂線,垂足為,連接,易得為與面所成的角,
∴,
∵,
∴平面,
∴為二面角的平面角,
可求得,
在中由余弦定理可得: ,
∴二面角的余弦值為;
解法二:如圖,在平面內(nèi),過作的垂線,交于點(diǎn),由(1)可知,平面平面,
∴平面,
∴直線兩兩互相垂直,
分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,
易得為與平面所成的角,∴,
則,
,
設(shè)平面的一個法向量為,則
且,
∴,且
取,可得平面的一個法向量為,
同理可求得平面的一個法向量為,
∴,
∴二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在梯形中, , , ,四邊形為矩形,平面平面, .
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)點(diǎn)在線段上運(yùn)動,設(shè)平面與平面所成銳二面角為,試求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是梯形,AD∥BC,側(cè)面ABB1A1為菱形,∠DAB=∠DAA1 .
(Ⅰ)求證:A1B⊥BC;
(Ⅱ)若AD=AB=3BC,∠A1AB=60°,點(diǎn)D在平面ABB1A1上的射影恰為線段A1B的中點(diǎn),求平面DCC1D1與平面ABB1A1所成銳二面角的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= x3+ax2+bx+ (a,b是實(shí)數(shù)),且f′(2)=0,f(﹣1)=0.
(1)求實(shí)數(shù)a,b的值;
(2)當(dāng)x∈[﹣1,t]時,求f(x)的最大值g(t)的表達(dá)式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若數(shù)據(jù)x1 , x2 , x3 , x4 , x5的方差為3,則數(shù)據(jù)2x1+1,2x2+1,2x3+1,2x4+1,2x5+1的方差為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是根據(jù)某班50名同學(xué)在某次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中的成績(百分制)繪制的概率分布直方圖,其中成績分組區(qū)間為:[40,50),[50,60),…,[80,90),[90,100].
(1)求圖中a的值;
(2)計算該班本次的數(shù)學(xué)測驗(yàn)成績不低于80分的學(xué)生的人數(shù);
(3)根據(jù)頻率分布直方圖,估計該班本次數(shù)學(xué)測驗(yàn)成績的平均數(shù)與中位數(shù)(要求中位數(shù)的估計值精確到0.1)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別為、, 為橢圓的右頂點(diǎn), , 分別為橢圓的上、下頂點(diǎn).線段的延長線與線段交于點(diǎn),與橢圓交于點(diǎn).(1)若橢圓的離心率為, 的面積為12,求橢圓的方程;(2)設(shè) ,求實(shí)數(shù)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知某中學(xué)聯(lián)盟舉行了一次“盟校質(zhì)量調(diào)研考試”活動,為了解本次考試學(xué)生的某學(xué)科成績情況,從中抽取部分學(xué)生的分?jǐn)?shù)(滿分為分,得分取正整數(shù),抽取學(xué)生的分?jǐn)?shù)均在之內(nèi))作為樣本(樣本容量為)進(jìn)行統(tǒng)計,按照的分組作出頻率分布直方圖,并作出樣本分?jǐn)?shù)的莖葉圖(莖葉圖中僅列出了得分在的數(shù)據(jù))
(Ⅰ)求樣本容量和頻率分布直方圖中的的值;
(Ⅱ)在選取的樣本中,從成績在分以上(含分)的學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生參加“省級學(xué)科基礎(chǔ)知識競賽”,求所抽取的名學(xué)生中恰有一人得分在內(nèi)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)求函數(shù) 的定義域;
(2)若存在a∈R,對任意 ,總存在唯一x0∈[﹣1,2],使得f(x1)=g(x0)成立.求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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