【題目】如圖所示,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是梯形,AD∥BC,側(cè)面ABB1A1為菱形,∠DAB=∠DAA1
(Ⅰ)求證:A1B⊥BC;
(Ⅱ)若AD=AB=3BC,∠A1AB=60°,點D在平面ABB1A1上的射影恰為線段A1B的中點,求平面DCC1D1與平面ABB1A1所成銳二面角的大。

【答案】證明:(Ⅰ)連接AB1、A1D、BD,設(shè)AB1交A1B于點O, 連OD,如圖所示.

由AA1=AB,∠DAB=∠DAA1 , 可得△AA1D≌△ABD,
所以A1D=BD,
由于O是線段A1B的中點,所以DO⊥A1B,
又根據(jù)菱形的性質(zhì)知AO⊥A1B,所以A1B⊥平面ADO,
所以A1B⊥AD,又因為AD∥BC,所以A1B⊥BC.
解:(Ⅱ)由(Ⅰ)知A1B⊥AB1 ,
又由題意知DO⊥平面ABB1A1 ,
故可分別以射線、射線、射線為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系,如圖所示.

設(shè)AD=AB=3BC=3a,
由∠A1AB=60°知 ,|OA|=|OB1|=
所以|OD|= = ,
從而A(0,﹣ ,0),B( ,0,0),B1(0, ,0),D(0,0, ),
所以
= ,得 ,所以
設(shè)平面DCC1D1的一個法向量為 =(x0 , y0 , z0),
,得 ,
取y0=1,則 ,所以 =( ).
又平面ABB1A1的法向量為 ,
所以
故平面DCC1D1與平面ABB1A1所成銳二面角的大小為
【解析】(Ⅰ)連接AB1、A1D、BD,設(shè)AB1交A1B于點O,連OD,推導出△AA1D≌△ABD,從而DO⊥A1B,由菱形的性質(zhì)知AO⊥A1B,從而A1B⊥平面ADO,進而A1B⊥AD,再由AD∥BC,能證明A1B⊥BC.(Ⅱ)分別以射線、射線、射線為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系,利用向量法能求出平面DCC1D1與平面ABB1A1所成銳二面角的大。
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解空間中直線與直線之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識,掌握相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個公共點;平行直線:同一平面內(nèi),沒有公共點;異面直線: 不同在任何一個平面內(nèi),沒有公共點.

練習冊系列答案
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③若函數(shù)f(x)= ,則f( )+f( )+f( )+…+f( )=5;
④在等比數(shù)列{an}中,a1+a2+…+an= (其中n∈N* , q為公比);
⑤如圖,在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,點M,N分別是CD,CC1的中點,則異面直線A1M與DN所成角的大小是90°.
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玩具名稱

工時(分鐘)

5

7

4

利潤(元)

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6

3

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C.(0, ]
D.[ , ]

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