【題目】已知函數(shù)f(x)= x3+ax2+bx+ (a,b是實數(shù)),且f′(2)=0,f(﹣1)=0.
(1)求實數(shù)a,b的值;
(2)當x∈[﹣1,t]時,求f(x)的最大值g(t)的表達式.

【答案】
(1)解:f'(x)=x2+2ax+b

∵f'(2)=0,f(﹣1)=0

,解得


(2)解:由(1)可知,f(x)= ,f'(x)=x2﹣2x=x(x﹣2),

由f'(x)>0,得x<0,或x>2;由f'(x)<0,得0<x<2,

故f(x)在(﹣∞,0)和(2,+∞)單調(diào)遞增,在(0,2)單調(diào)遞減,

所以f(x)極小值=f(2)=0,

,得x=﹣1,或x=2;

,得x=0,或x=3.

結(jié)合單調(diào)性及極值點,畫出圖像如下:

結(jié)合圖像,對t分類討論:

1)﹣1<t<0時,f(x)在[﹣1,t]上單調(diào)遞增, ;

2)0≤t<3時, ;

3)t≥3時,

綜上可得,g(t)=


【解析】(1)直接根據(jù)f′(2)=0,f(﹣1)=0得到關(guān)于a,b的方程組,即可解出a,b的值;(2)利用導(dǎo)數(shù)求出f(x)的單調(diào)區(qū)間,極值點,并通過解方程f(x)= ,得到特殊點(3, ),然后結(jié)合函數(shù)圖像,對t分類討論,分別求出f(x)的最大值即可.
【考點精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點,需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值才能正確解答此題.

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玩具名稱

工時(分鐘)

5

7

4

利潤(元)

5

6

3

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