Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，試求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若在內(nèi)有極值，試求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，1）；（2）a∈（e，+∞）

【解析】

（1）首先求得定義域?yàn)?/span>，求導(dǎo)后，通過證明恒成立可知導(dǎo)函數(shù)符號(hào)由的符號(hào)決定，從而可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）將在內(nèi)有極值轉(zhuǎn)化為在內(nèi)有零點(diǎn)，即有解，令，，利用導(dǎo)數(shù)可求得，從而可驗(yàn)證出時(shí)在內(nèi)有零點(diǎn)，從而得到結(jié)果.

（1）由題意知，定義域?yàn)椋?/span>

當(dāng)時(shí)，

則：

令，則

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增

即：對(duì)任意的，恒成立

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

的單調(diào)遞增區(qū)間為：；單調(diào)遞減區(qū)間為：

（2）若在內(nèi)有極值，則在內(nèi)有零點(diǎn)

由，得：，則

設(shè)，，則恒成立

在上單調(diào)遞減

當(dāng)時(shí)，在內(nèi)有解

設(shè)，則

當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞減

又， 在上有唯一解

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，在內(nèi)有唯一極值

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，不存在極值

綜上所述：