已知、為橢圓的左、右焦點,且點在橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)過的直線交橢圓于兩點,則的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值?
若存在其最大值及此時的直線方程;若不存在,請說明理由.
(1);(2)當(dāng)不存在時圓面積最大, ,此時直線方程為.
解析試題分析:本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、平面內(nèi)兩點間的距離公式、三角形面積公式等基礎(chǔ)知識,考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,考查運算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.第一問,先設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,利用橢圓的定義列出,解出和的值,從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;第二問,假設(shè)直線的斜率存在,設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消參得出關(guān)于的方程,得到兩根之和、兩根之積,求出的面積,面積之和內(nèi)切圓的半徑有關(guān),所以當(dāng)的面積最大時,內(nèi)切圓面積最大,換一種形式求的面積,利用換元法和配方法求出面積的最大值,而直線的斜率不存在時,易求出和圓面積,經(jīng)過比較,當(dāng)不存在時圓面積最大.
試題解析:(Ⅰ)由已知,可設(shè)橢圓的方程為,
因為,所以,,
所以,橢圓的方程為 4分
(也可用待定系數(shù)法,或用)
(2)當(dāng)直線斜率存在時,設(shè)直線:,由得,
設(shè),, 6分
所以,
設(shè)內(nèi)切圓半徑為,因為的周長為(定值),,
所以當(dāng)的面積最大時,內(nèi)切圓面積最大,又, 8分
令,則,所以 10分
又當(dāng)不存在時,,此時,
故當(dāng)不存在時圓面積最大, ,此時直線方程為. 12分
(也可以設(shè)直線,避免對的討論,參照以上解法,按相應(yīng)步驟給分)
考點:1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;2.直線的方程;3.韋達定理;4.三角形面積公式;5.配方法求函數(shù)的最值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,已知點,點在直線:上運動,過點與垂直的直線和線段的垂直平分線相交于點.
(1)求動點的軌跡的方程;
(2)過(1)中的軌跡上的定點作兩條直線分別與軌跡相交于,兩點.試探究:當(dāng)直線,的斜率存在且傾斜角互補時,直線的斜率是否為定值?若是,求出這個定值;若不是,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知曲線的極坐標(biāo)方程為,曲線的極坐標(biāo)方程為,曲線、相交于、兩點.()
(Ⅰ)求、兩點的極坐標(biāo);
(Ⅱ)曲線與直線(為參數(shù))分別相交于兩點,求線段的長度.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的左、右焦點分別為,且,長軸的一個端點與短軸兩個端點組成等邊三角形的三個頂點.
(1)求橢圓方程;
(2)設(shè)橢圓與直線相交于不同的兩點M、N,又點,當(dāng)時,求實數(shù)m的取值范圍,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,設(shè)F(-c,0)是橢圓的左焦點,直線l:x=-與x軸交于P點,MN為橢圓的長軸,已知|MN|=8,且|PM|=2|MF|。
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)過點P的直線m與橢圓相交于不同的兩點A,B。
①證明:∠AFM=∠BFN;
②求△ABF面積的最大值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知點,,直線AG,BG相交于點G,且它們的斜率之積是.
(Ⅰ)求點G的軌跡的方程;
(Ⅱ)圓上有一個動點P,且P在x軸的上方,點,直線PA交(Ⅰ)中的軌跡于D,連接PB,CD.設(shè)直線PB,CD的斜率存在且分別為,,若,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)已知的兩頂點坐標(biāo),,圓是的內(nèi)切圓,在邊,,上的切點分別為,(從圓外一點到圓的兩條切線段長相等),動點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)設(shè)直線與曲線的另一交點為,當(dāng)點在以線段為直徑的圓上時,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的中心在原點,焦點在x軸上,離心率為,且經(jīng)過點,直線交橢圓于不同的兩點A,B.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)求m的取值范圍;
(Ⅲ)若直線不過點M,求證:直線MA、MB與x軸圍成一個等腰三角形
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓C的中心在原點,焦點在軸上,焦距為2,離心率為
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線經(jīng)過點(0,1),且與橢圓C交于兩點,若,求直線的方程.
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