【題目】如圖, 四棱錐中, 平面平面,為線段上一點,為的中點．

（1）證明: 平面；

（2）求二面角的正弦值．

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）連接,設(shè),可證四邊形為平行四邊形，得是的中點,利用三角形中位線定理可得進而由線面平行的判定定理可得結(jié)論；（2）先證平面，分別以所在直線為軸, 軸, 為軸正方向,空間直角坐標系,分別求出平面和平面的法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得二面角的余弦值，進而得結(jié)果．

試題解析：（1）證明: 連接,設(shè),連接,四邊形為平行四邊形, 且是的中點, 又為的中點, 平面平面平面．

（2）取的中點,連接,由得平面平面,平面平面平面,在中,, 在等腰中,, 以為坐標原點, 分別以所在直線為軸, 軸, 為軸正方向, 建立如圖所示的空間直角坐標系,由題知,

設(shè)是平面的法向量, 則,即．

設(shè)是平面的法向量, 則,即得．

,二面角的正弦值為．

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【題目】如圖，正四面體的頂點、、分別在兩兩垂直的三條射線， ， 上，則在下列命題中，錯誤的是( )

A. 是正三棱錐

B. 直線與平面相交

C. 直線與平面所成的角的正弦值為

D. 異面直線和所成角是

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(1)討論和是函數(shù)的極大值還是極小值;

(2)過點作曲線的切線,求此切線方程.

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（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；

（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．

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【題目】迭代法是用于求方程或方程組近似根的一種常用的算法設(shè)計方法．設(shè)方程為，用某種數(shù)學(xué)方法到處等價的形式，然后按以下步驟執(zhí)行：

（1）選一個方程的近似根，賦給變量；

（2）將的值保存于變量，然后計算，并將結(jié)果存于變量；

（3）當(dāng)與的差的絕對值還小于指定的精度要求時，重復(fù)步驟（2）的計算．若方程有根，則按上述方法求得的就認為是方程的根．試用迭代法求某個數(shù)的平方根，用流程圖和偽代碼表示問題的算法．

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【題目】某工廠有工人1000名，其中250名工人參加短期培訓(xùn)（稱為類工人），另外750名工人參加過長期培訓(xùn)（稱為類工人）．現(xiàn)用分層抽樣方法（按類，類分二層）從該工廠的工人中共抽查100名工人，調(diào)查他們的生產(chǎn)能力（生產(chǎn)能力指一天加工的零件數(shù)）．

（1）類工人和類工人中個抽查多少工人？

（2）從類工人中的抽查結(jié)果和從類工人中的抽查結(jié)果分別如下表1和表2．

表1：

表2：

① 先確定，，再完成下列頻率分布直方圖，就生產(chǎn)能力而言，類工人中個體間的差異程度與類工人中個體間的差異程度哪個更小？（不用計算，可通過觀察直方圖直接回答結(jié)論）

② 分別估計類工人和類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)，并估計該工廠工人的生產(chǎn)能力的平均數(shù)（同一組中

的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）．

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【題目】已知是二次函數(shù)，不等式的解集是，且在區(qū)間上的最大值是12．

（1）求的解析式；

（2）是否存在自然數(shù)，使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個不等的實數(shù)根？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由．

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【題目】某公司今年年初用25萬元引進一種新的設(shè)備，投入設(shè)備后每年收益為21萬元.該公司第n年需要付出設(shè)備的維修和工人工資等費用的信息如下圖.

（1）求；

（2）引進這種設(shè)備后，第幾年后該公司開始獲利；

（3）這種設(shè)備使用多少年，該公司的年平均獲利最大？

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【題目】如圖， 是圓的直徑， 垂直圓所在的平面， 是圓上的點．

（1）求證： 平面；

（2）設(shè)為的中點， 為的重心，求證： 平面．

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