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【題目】已知函數發(fā)f(x)=(x+1)lnx﹣ax+2.
(1)當a=1時,求在x=1處的切線方程;
(2)若函數f(x)在定義域上具有單調性,求實數a的取值范圍;
(3)求證: ,n∈N*

【答案】
(1)解:當a=1時,f(x)=(x+1)lnx﹣x+2,(x>0),

f′(x)=lnx+ ,f′(1)=1,f(1)=1,

所以求在x=1處的切線方程為:y=x﹣1


(2)解:f′(x)=lnx+ +1﹣a,(x>0).

(i)函數f(x)在定義域上單調遞減時,

即a≥lnx+ 時,令g(x)=lnx+ ,

當x>ea時,g′(x)>0,不成立;

(ii)函數f(x)在定義域上單調遞增時,a≤lnx+

令g(x)=lnx+ ,

則g′(x)= ,x>0;

則函數g(x)在(0,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增;

所以g(x)≥2,故a≤2


(3)證明:由(ii)得當a=2時f(x)在(1,+∞)上單調遞增,

由f(x)>f(1),x>1得(x+1)lnx﹣2x+2>0,

即lnx> 在(1,+∞)上總成立,

令x= 得ln

化簡得:ln(n+1)﹣lnn> ,

所以ln2﹣ln1> ,

ln3﹣ln2> ,…,

ln(n+1)﹣lnn>

累加得ln(n+1)﹣ln1> ,

ln(n+1),n∈N*命題得證


【解析】(1)求出函數的導數,計算f(1),f′(1),求出切線方程即可;(2)求出函數的導數,通過討論函數遞減和函數遞增,從而求出a的范圍即可;(3)令a=2,得:lnx> 在(1,+∞)上總成立,令x= ,得ln ,化簡得:ln(n+1)﹣lnn> ,對x取值,累加即可.
【考點精析】根據題目的已知條件,利用利用導數研究函數的單調性的相關知識可以得到問題的答案,需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內,(1)如果,那么函數在這個區(qū)間單調遞增;(2)如果,那么函數在這個區(qū)間單調遞減.

練習冊系列答案
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