【題目】如圖，圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正方形，點(diǎn)是圓弧上的一動(dòng)點(diǎn)（不與重合），點(diǎn)是圓弧的中點(diǎn)，且點(diǎn)在平面的兩側(cè).

（1）證明：平面平面；

（2）設(shè)點(diǎn)在平面上的射影為點(diǎn)，點(diǎn)分別是和的重心，當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，回答下列問題.

（�。┳C明：平面；

（ⅱ）求平面與平面所成二面角的正弦值.

【答案】（1）見解析（2）（�。┮娊馕觯áⅲ�

【解析】

（1）證明垂直平面內(nèi)的兩條相交直線，再利用面面垂直的判定定理證明即可；

（2）當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，點(diǎn)為圓弧的中點(diǎn)，所以點(diǎn)為圓弧的中點(diǎn)，所以四邊形為正方形，且平面.（ⅰ）連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，則，再由線面平行的判定定理證得結(jié)論；（ⅱ）由平面垂直，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，平面的法向量，求兩向量夾角的余弦值，進(jìn)而得到二面角的正弦值.

（1）因?yàn)?/span>是軸截面，所以平面，所以，

又點(diǎn)是圓弧上的一動(dòng)點(diǎn)（不與重合），且為直徑，所以，

又平面平面，所以平面，而平面，故平面平面.

（2）當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，點(diǎn)為圓弧的中點(diǎn)，所以點(diǎn)為圓弧的中點(diǎn)，所以四邊形為正方形，且平面.

（ⅰ）連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，則，

因?yàn)?/span>分別為兩個(gè)三角形的重心，∴，

所以，又平面平面，所以平面.

（ⅱ）平面垂直，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則，設(shè)平面的法向量，則即可取，

又平面的法向量，

所以，所以.

所以平面與平面所成二面角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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（1）求橢圓C的方程；

（2）若BP⊥BQ，且滿足32的點(diǎn)D在y軸上，求直線BP的方程；

（3）若直線BP與BQ的斜率乘積為常數(shù)λ（λ＜0），試判斷直線PQ是否經(jīng)過定點(diǎn).若經(jīng)過定點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.

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（2）直線經(jīng)過橢圓的上頂點(diǎn)且與拋物線交于，兩點(diǎn)，直線，與拋物線分別交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），（異于點(diǎn)），證明：直線的斜率為定值.

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①總體看女性處理多任務(wù)平均用時(shí)更短；

②所有女性處理多任務(wù)的能力都要優(yōu)于男性；

③男性的時(shí)間分布更接近正態(tài)分布；

④女性處理多任務(wù)的用時(shí)為正數(shù)，男性處理多任務(wù)的用時(shí)為負(fù)數(shù).

A.①④B.②③C.①③D.②④

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擁有駕駛證

沒有駕駛證

合計(jì)

得分優(yōu)秀

得分不優(yōu)秀

25

合計(jì)

100

（1）補(bǔ)全上面的列聯(lián)表，并判斷能否有超過的把握認(rèn)為“安全意識(shí)優(yōu)秀與是否擁有駕駛證”有關(guān)？

（2）若規(guī)定參加調(diào)查的100人中分?jǐn)?shù)在70以上（含70）的為“安全意識(shí)優(yōu)良”，從參加調(diào)查的100人中根據(jù)安全意識(shí)是否優(yōu)良，按分層抽樣的方法抽出5人，再?gòu)?人中隨機(jī)抽取3人，試求抽取的3人中恰有一人為“安全意識(shí)優(yōu)良”的概率.

附表及公式：，其中.

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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