已知是定義在上的奇函數(shù),且,若,有恒成立.
(1)判斷在上是增函數(shù)還是減函數(shù),并證明你的結(jié)論;
(2)若對(duì)所有恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍。
(1)增函數(shù),證明詳見解析;(2)或或
解析試題分析:(1)要判斷函數(shù)的單調(diào)性一般可用增函數(shù)和減函數(shù)的定義或利用導(dǎo)函數(shù)判斷,由于本題沒有函數(shù)解析式,再結(jié)合題目特點(diǎn),適于用定義判斷,解決問題的關(guān)鍵是對(duì)照增函數(shù)和減函數(shù)的定義,再結(jié)合奇函數(shù)的條件,怎樣通過適當(dāng)?shù)馁x值構(gòu)造出與和相關(guān)的式子,再判斷符號(hào)解決,通過觀察,只要令即可;(2)不等式恒成立問題一般要轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題,先將原問題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意成立,再構(gòu)造函數(shù),問題又轉(zhuǎn)化為任意恒成立,此時(shí)可對(duì)的系數(shù)的符號(hào)討論,但較為繁瑣,較為簡(jiǎn)單的做法是只要滿足且即可.
試題解析:(1)設(shè)且,則,是奇函數(shù)
由題設(shè)知
且時(shí) ,
即在上是增函數(shù)
(2)由(1)知,在上是增函數(shù),且
要,對(duì)所有恒成立,需且只需
即成立,
令,對(duì)任意恒成立 需且只需滿足
,或或
考點(diǎn):函數(shù)的單調(diào)性、不等式恒成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分14分)已知函數(shù).
(l)求的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)若對(duì)任意恒成立,求實(shí)數(shù)m的最大值.
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設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),證明:函數(shù)不是奇函數(shù);
(2)設(shè)函數(shù)是奇函數(shù),求與的值;
(3)在(2)條件下,判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性,并求不等式的解集.
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已知定義域?yàn)镽的函數(shù)是奇函數(shù).
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)判斷的單調(diào)性并證明;
(Ⅲ)若對(duì)任意的,不等式恒成立,求的取值范圍.
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已知函數(shù)()滿足①;②
(1)求的解析式;
(2)若對(duì)任意實(shí)數(shù),都有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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已知函數(shù)在處取得極值.
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)設(shè)是曲線上除原點(diǎn)外的任意一點(diǎn),過的中點(diǎn)且垂直于軸的直線交曲線于點(diǎn),試問:是否存在這樣的點(diǎn),使得曲線在點(diǎn)處的切線與平行?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由;
(Ⅲ)設(shè)函數(shù),若對(duì)于任意,總存在,使得,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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對(duì)于定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/e5/f/1dd8p3.png" style="vertical-align:middle;" />的函數(shù),如果存在區(qū)間,同時(shí)滿足:
①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù);②當(dāng)定義域是,值域也是,則稱是函數(shù)
的“好區(qū)間”.
(1)設(shè)(其中且),判斷是否存在“好區(qū)間”,并
說明理由;
(2)已知函數(shù)有“好區(qū)間”,當(dāng)變化時(shí),求的最大值.
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已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若在內(nèi)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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已知函數(shù),,
(1)若為奇函數(shù),求的值;
(2)若=1,試證在區(qū)間上是減函數(shù);
(3)若=1,試求在區(qū)間上的最小值.
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