分析 (Ⅰ)在正三角形ADE中,取AD中點G,連接EG,則EG⊥AD,利用面面垂直的性質可得EG⊥BD.再由已知結合勾股定理可的BD⊥AD,由線面垂直的判定可得BD⊥平面ADE,則BD⊥AE;
(Ⅱ)取AE中點H,則DH⊥AE,結合(Ⅰ)可得AE⊥BH,則∠BHD為二面角B-AE-D的平面角.求解直角三角形可得二面角B-AE-D的正切值;
(Ⅲ)在Rt△ADB中,sin$∠ABD=\frac{3}{5}$,得sin∠CDB=$\frac{3}{5}$.利用面積公式求得△BDC的面積,再由等積法求三棱錐C-BDE的體積.
解答 (Ⅰ)證明:在正三角形ADE中,取AD中點G,連接EG,則EG⊥AD,
∵側面ADE⊥底面ABCD,且側面ADE∩底面ABCD=AD,
∴EG⊥平面ABD,則EG⊥BD.
∵AD=3,BD=4,AB=5,∴AD2+BD2=AB2,則BD⊥AD,
∵AD∩EG=G,
∴BD⊥平面ADE,則BD⊥AE;
(Ⅱ)解:取AE中點H,則DH⊥AE,
由(Ⅰ)知BD⊥AE,則AE⊥平面BDH,∴AE⊥BH,
則∠BHD為二面角B-AE-D的平面角.
∴tan∠BHD=$\frac{BD}{DH}$=$\frac{4}{\frac{3\sqrt{3}}{2}}=\frac{8\sqrt{3}}{9}$;
(Ⅲ)解:在Rt△ADB中,sin$∠ABD=\frac{3}{5}$,
∵AB∥DC,∴sin∠CDB=$\frac{3}{5}$.
則${S}_{△BDC}=\frac{1}{2}×2×4×\frac{3}{5}=\frac{12}{5}$.
∴${V}_{C-BDE}={V}_{E-BDC}=\frac{1}{3}×\frac{12}{5}×\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{5}$.
點評 本題考查面面垂直的性質與線面垂直的判定,考查空間想象能力和思維能力,訓練了利用等積法求多面體的體積,正確找出二面角的平面角是解答(Ⅱ)的關鍵,是中檔題.
科目:高中數學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數學 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{a+b}{2}≥\sqrt{ab}$(a>0,b>0) | B. | a2+b2≥2ab(a>0,b>0) | ||
C. | $\frac{2ab}{a+b}≤\sqrt{ab}$(a>0,b>0) | D. | $\frac{a+b}{2}≤\sqrt{\frac{{{a^2}+{b^2}}}{2}}$(a>0,b>0) |
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科目:高中數學 來源: 題型:選擇題
A. | 2$\sqrt{2}$+1 | B. | 2$\sqrt{2}$-1 | C. | $\sqrt{6}$+1 | D. | $\sqrt{6}$-1 |
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科目:高中數學 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{32}{3}$$\sqrt{6}$cm3 | B. | $\frac{64}{3}$$\sqrt{6}$cm3 | C. | $\frac{32}{3}$$\sqrt{2}$cm3 | D. | $\frac{64}{3}$$\sqrt{2}$cm3 |
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
歲數x | 1 | 2 | 6 | 12 | 16 | 17 |
花費累積y(萬元) | 1 | 2.8 | 9 | 17 | 22 | 24 |
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科目:高中數學 來源: 題型:選擇題
A. | 5$\sqrt{13}$ | B. | 5$\sqrt{11}$ | C. | 5$\sqrt{7}$ | D. | 5 |
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科目:高中數學 來源: 題型:選擇題
A. | ① | B. | ② | C. | ③ | D. | ①或③ |
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