Question

（本題滿分15分）已知函數(shù).
（Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)有唯一的極值，且極值大于？若存在，,求的取值
范圍；若不存在，說(shuō)明理由；
（Ⅲ）如果對(duì)，總有，則稱是的凸
函數(shù)，如果對(duì)，總有，則稱是的凹函數(shù).當(dāng)時(shí)，利用定義分析的凹凸性，并加以證明。

Answer 1

解：（Ⅰ）遞增，遞減；
（Ⅱ）；（Ⅲ）上為凸函數(shù).上為凹函數(shù).

本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的 運(yùn)用，求解函數(shù)的單調(diào)性，和函數(shù)的極值問(wèn)題，以及函數(shù)的凸凹性的研究的綜合運(yùn)用。
（1）利用定義域和導(dǎo)數(shù)來(lái)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的問(wèn)題。
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232232024121010.png" style="vertical-align:middle;" />
顯然才有唯一的極值點(diǎn)，利用這一點(diǎn)得到a的不等式，從而求解范圍。
（3）根據(jù)新的凸函數(shù)與凹函數(shù)的定義，借助于導(dǎo)數(shù)的思想來(lái)判定結(jié)論。
解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，             ………………2分
遞增，遞減                            ………………4分
（Ⅱ）
顯然才有唯一的極值點(diǎn)，它滿足
                                     ………………6分
消去，得， 方程的正跟比1大
                                               ………………8分
故                                             ………………9分
（Ⅲ）在處取得最小值
故上為凸函數(shù)，上為凹函數(shù)          ………………11分
下證上為凸函數(shù)：
不妨設(shè)
令 ……13分

故在上遞減，

即上為凸函數(shù).
同理上為凹函數(shù).                          ………………15分