【題目】如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形,,,平面底面,為的中點,是的中點,,,.
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)見解析.(Ⅱ).
【解析】試題分析:(Ⅰ)在中,得,再由平面底面,證的底面,即可證明.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知平面,建立空間直角坐標系,得到為平面的一個法向量,且,再求得平面的法向量為,利用向量的夾角公式,即可求解二面角的余弦值.
試題解析:
(Ⅰ)在中,,為的中點,所以.
因為平面底面,且平面底面,
所以底面.
又平面,
所以.
(Ⅱ)在直角梯形中,,,為的中點,
所以,
所以四邊形為平行四邊形.
因為,所以,由(Ⅰ)可知平面,
以為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系.
則,,,,,.
因為,,所以平面,
即為平面的一個法向量,且.
因為是棱的中點,所以點的坐標為,
又,設(shè)平面的法向量為.
則,即,
令,得,,所以.
從而 .
由題知,二面角為銳角,所以二面角的余弦值為.
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【題目】如圖,在直角梯形中,,且分別為線段的中點,沿把折起,使,得到如下的立體圖形.
(1)證明:平面平面;
(2)若,求二面角的余弦值.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)為偶函數(shù),求實數(shù)的值;
(2)若,求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(3)當時,若對任意的,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若,求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)當時,若對任意的,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】在平面直角坐標系中,拋物線的頂點在原點,且該拋物線經(jīng)過點,其焦點在軸上.
(Ⅰ)求過點且與直線垂直的直線的方程;
(Ⅱ)設(shè)過點的直線交拋物線于,兩點,,求的最小值.
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【題目】在直角坐標系中,已知橢圓的上下兩個焦點分別為,且,橢圓過點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)設(shè)橢圓的一個頂點為,直線交橢圓于另一個點,求的面積.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點 在橢圓:上,且橢圓的離心率為.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)記橢圓的左、右頂點分別為、,點是軸上任意一點(異于點),過點的直線與橢圓相交于兩點.
①若點的坐標為,直線的斜率為,求的面積;
②若點的坐標為,連結(jié)交于點,記直線的斜率分別為,證明:是定值.
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