Question

已知：正四棱錐S-ABCD的棱長均為13，E，F(xiàn)分別是SA，BD上的點(diǎn)，且SE：EA=BF：FD=5：8．
（1）求證：EF∥平面SBC；
（2）求四棱錐S-ABCD的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）如圖所示，取點(diǎn)G，使BG：GA=5：8，EG∥SB，GF∥BC，得到平面EFG∥平面SBC，問題得以證明
（2）如圖，連接AC，BD相交于點(diǎn)O，連接SO，可以得到SO是正四棱錐S-ABCD的高，再根據(jù)棱錐的體積公式計(jì)算即可

解答： 解：（1）證明：如圖所示，取點(diǎn)G，使BG：GA=5：8．
∵SE：EA=BF：FD=5：8．
∴EG∥SB，GF∥AD，
∵底面ABCD的為正方形，
∴AD∥BC，
∴GF∥BC，
∵EG∩GF=G，SB∩BC=C，EG，GF?平面EFG，SB，BC?平面SBC，
∴平面EFG∥平面SBC，
∵EF?平面EFG，EF?平面SBC，
∴EF∥平面SBC
（2）如圖，連接AC，BD相交于點(diǎn)O，連接SO，
∴O點(diǎn)AC，BD的中點(diǎn)，
∵SA=SB=SC=SD，
∴SO⊥AC，SO⊥BD，
∴SO⊥底面ABCD，
即SO是正四棱錐S-ABCD的高，
∵正四棱錐S-ABCD的棱長均為13，
∴AO=

1

2

AC=

1

2

AB2+BC2

=

13 2

2

，
∴SO=

SA2-AO2

=

13 2

2

，

2197 2

6

∵S_底面ABCD=AB•BC=13×13=169，
∴V_{四棱錐S-ABCD}=

1

3

×169×

13 2

2

=

2197 2

6

點(diǎn)評：本題考查線面平行的證明，體積的計(jì)算，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)，屬于中檔題