Question

對(duì)于三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），給出定義：設(shè)f′（x）是函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)，f″（x）是函數(shù)f′（x）的導(dǎo)數(shù)，若方程f″（x）=0有實(shí)數(shù)解x₀，則稱點(diǎn)（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的“拐點(diǎn)”，某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心．給定函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

，請(qǐng)你根據(jù)上面探究結(jié)果，解答以下問題：
（1）函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

的對(duì)稱中心坐標(biāo)為

 

；
（2）計(jì)算f（

1

2015

）+f（

2

2015

）+f（

3

2015

）+…+f（

2014

2015

）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）二階求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為0，從而可得x=

1

2

，則f（

1

2

）=

1

3

×

1

8

-

1

8

+

3

2

-

5

12

=1，從而得到對(duì)稱中心坐標(biāo)；
（2）由函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

的對(duì)稱中心坐標(biāo)為（

1

2

，1）可得f（x）+f（1-x）=2，從而化f（

1

2015

）+f（

2

2015

）+f（

3

2015

）+…+f（

2014

2015

）=（f（

1

2015

）+f（

2014

2015

））+（f（

2

2015

）+f（

2013

2015

））+…+（f（

1007

2015

）+f（

1008

2015

））；從而求解．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

，
∴f′（x）=x²-x+3，
f″（x）=2x-1，
令2x-1=0，解得，x=

1

2

，
f（

1

2

）=

1

3

×

1

8

-

1

8

+

3

2

-

5

12

=1，
故函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

的對(duì)稱中心坐標(biāo)為（

1

2

，1）；
（2）∵函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

的對(duì)稱中心坐標(biāo)為（

1

2

，1），
∴f（x）+f（1-x）=2，
∴f（

1

2015

）+f（

2

2015

）+f（

3

2015

）+…+f（

2014

2015

）
=（f（

1

2015

）+f（

2014

2015

））+（f（

2

2015

）+f（

2013

2015

））+…+（f（

1007

2015

）+f（

1008

2015

））
=2×1007=2014．
故答案為：（

1

2

，1），2014．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查了學(xué)生對(duì)新定義的接受與應(yīng)用能力，屬于難題．