Question

若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（λx+μy）=λf（x）+μf（y）（x，y，λ，μ均為實數(shù)），則稱f（x）為R上的線性變換，現(xiàn)有下列命題：
①f（x）=2x是R上的線性變換；②若f（x）是R上的線性變換，則f（kx）=kf（x）（k∈R）；③若f（x）和g（x）均是R上的線性變換，則f（x）+g（x）是R上的線性變換；④f（x）是R上的線性變換的充要條件是f（x）是R上的一次函數(shù)．
其中是真命題的是    ．（寫出所有真命題的編號）

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題目中新定義的線性變換的概念本質(zhì)進行求解轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵，利用線性變換的定義完成四個命題的診斷．真命題的要加以證明，假命題要舉個反例．
解答：解：對于①，由于f（x）=2x，則f（λx+μy）=2λx+2μy，而λf（x）+μf（y）=2λx+2μy，所以f（λx+μy）=λf（x）+μf（y），故①為真命題；
對于②，由于f（x）是R上的線性變換，則對任意的實數(shù)x，y，λ，μ，均有f（λx+μy）=λf（x）+μf（y），令μ=0得，f（λx）=λf（x），即f（kx）=kf（x）（k∈R），故②為真命題；
對于③，若f（x）和g（x）均是R上的線性變換，則對任意的實數(shù)x，y，λ，μ，均有f（λx+μy）=λf（x）+μf（y），g（λx+μy）=λg（x）+μg（y），于是f（λx+μy）+g（λx+μy）=λf（x）+μf（y）+λg（x）+μg（y）=λ（f（x）+g（x））+μ（f（x）+g（x）），故f（x）+g（x）是R上的線性變換，所以③為真命題；
對于④，令f（x）=x-1，利用線性變換的定義可知f（x）不是R上的線性變換．故④為假命題．
故答案為：①②③．
點評：本題考查新定義型問題的解決方法，考查學生對概念的認識和把握程度，驗證一個函數(shù)是否為線性變換需要驗證是否滿足其定義，考查學生的轉(zhuǎn)化與化歸思想，整理化簡的能力和意識．