函數(shù)f(x)的定義域為A,若x1、x2∈A且f(x1)=f(x2)時總有x1=x2,則稱f(x)為單函數(shù).例如,函數(shù)f(x)=2x+1(x∈R)是單函數(shù).下列命題:
①若函數(shù)f(x)是f(x)=x2(x∈R),則f(x)一定是單函數(shù);
②若f(x)為單函數(shù),x1、x2∈A且x1≠x2,則f(x1)≠f(x2);
③若定義在R上的函數(shù)f(x)在某區(qū)間上具有單調(diào)性,則f(x)一定是單函數(shù);
④若函數(shù)f(x)是周期函數(shù),則f(x)一定不是單函數(shù);
⑤若函數(shù)f(x)是奇函數(shù),則f(x)一定是單函數(shù).
其中的真命題的序號是
②④
②④
分析:利用單函數(shù)的定義分別對五個命題進(jìn)行判斷,即可得出正確結(jié)論.
解答:解:①若函數(shù)f(x)是f(x)=x2,則由f(x1)=f(x2)得
x
2
1
=
x
2
2
,得到x1=±x2,所以①不是單函數(shù),所以①錯誤.
②若f(x)為單函數(shù),則f(x1)=f(x2)時總有x1=x2,即x1≠x2,則f(x1)≠f(x2),所以②正確.
③當(dāng)函數(shù)單調(diào)時,在單調(diào)區(qū)間上必有f(x1)=f(x2)時總有x1=x2,但在其他定義域上,不一定是單函數(shù),所以③錯誤.
④若函數(shù)f(x)是周期函數(shù),則滿足f(x1)=f(x2),則有x1=kT+x2,所以④正確.
⑤若函數(shù)f(x)是奇函數(shù),比如f(x)=sinx,是奇函數(shù),則滿足f(x1)=f(x2),則x1,x2,不一定相等.所以⑤錯誤.
故答案為:②④.
點(diǎn)評:本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)的推導(dǎo)和判斷,考查學(xué)生分析問題的能力,綜合性較強(qiáng).
練習(xí)冊系列答案
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函數(shù)f(x)的定義域為{x|x≠0},且滿足對于定義域內(nèi)任意的x1,x2都有等式f(x1•x2)=f(x1)+f(x2
(Ⅰ)求f(1)的值;
(Ⅱ)判斷f(x)的奇偶性并證明;
(Ⅲ)若f(2)=1,且f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),解關(guān)于x的不等式f(2x-1)-3≤0.

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若函數(shù)f(x)的定義域是[0,1),則F(x)=f[log 
12
(3-x)
]的定義域為
 

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已知a>0且a≠1,函數(shù)f(x)=loga(x+1),g(x)=loga
11-x
,記F(x)=2f(x)+g(x)
(1)求函數(shù)F(x)的定義域D及其零點(diǎn);
(2)試討論函數(shù)F(x)在定義域D上的單調(diào)性;
(3)若關(guān)于x的方程F(x)-2m2+3m+5=0在區(qū)間[0,1)內(nèi)僅有一解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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若函數(shù)f(x)的定義域為(-1,1),它在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù),且f(a-3)+f(4-2a)<0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若函數(shù)f(x)的定義域為[-1,2],則函數(shù)
f(x+2)
x
的定義域為( 。
A、[-1,0)∪(0,2]
B、[-3,0)
C、[1,4]
D、(0,2]

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