Question

若定義在R上的函數(shù)f（x）對任意的x₁，x₂∈R，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-1成立，且當x＞0時，f（x）＞1．
（1）求f（0）的值；
（2）求證：f（x）是R上的增函數(shù)；
（3）若f（4）=5，不等式f（cos²x+asinx-2）＜3對任意的x∈R恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）通過令x₁=x₂=0，即可得到f（0）=1；
（2）要判斷函數(shù)的增減性，就是在自變量范圍中任意取兩個x₁＜x₂∈R，判斷出f（x₁）與f（x₂）的大小即可知道增減性．
（3）已知f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-1，且f（4）=5，則f（4）=f（2）+f（2）-1⇒f（2）=3．由不等式f（cos²x+asinx-2）＜3，得f（cos²x+asinx-2）＜f（2），由（2）知，f（x）是R上的增函數(shù)，得到cos²x+asinx-2＜2，利用換元法轉(zhuǎn)化函數(shù)，通過函數(shù)的對稱軸的討論，利用函數(shù)的最小值大于0，求出a的范圍即可．

解答：解：（1）定義在R上的函數(shù)f（x）對任意的x₁，x₂∈R，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-1成立，
令x₁=x₂=0，則f（0+0）=f（0）+f（0）-1⇒f（0）=1，
（2）由（1）知，f（x）-1為奇函數(shù)，
∴f（-x）-1=-[f（x）-1]，
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
∵f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-1，
∴f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）-1=f（x₂）-[f（x₁）-1]=
f（x₂）-f（x₁）+1．
∵當x＞0時，f（x）＞1，
∴f（x₂-x₁）=f（x₂）-f（x₁）+1＞1，∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）是R上的增函數(shù)．
（3）∵f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-1，且f（4）=5，
∴f（4）=f（2）+f（2）-1⇒f（2）=3．
由不等式f（cos²x+asinx-2）＜3，得f（cos²x+asinx-2）＜f（2），
由（2）知，f（x）是R上的增函數(shù)，∴cos²x+asinx-2＜2，
⇒cos²x-asinx-4＜0．⇒sin²x-asinx+3＞0．令t=sinx∈[-1，1]，則g（t）=t²-at+3=（t-

a

2

）²-

a2

4

+3．
故只需g（t）_min＞0．
當

a

2

≤-1即a≤-2時，g（t）_min=g（-1）=a+4＞0，⇒-4＜a≤-2．
當-1＜

a

2

＜1即-2＜a＜2時，g（t）_min=g（

a

2

）=-

a2

4

+3＞0，⇒-2＜a＜2．
當

a

2

≥1即a≥2時，g（t）_min=g（1）=-a+4＞0，⇒2≤a＜4．
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍：（-4，4）．

點評：考查學生掌握判斷函數(shù)奇偶性能力和判斷函數(shù)增減性的能力，靈活運用題中已知條件的能力，考查分類討論思想的應用．