【題目】四棱錐P﹣ABCD中平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，M為AD中點，PA＝PD，AD＝AB＝2CD＝2．

（1）求證：平面PMB⊥平面PAC；

（2）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．

【答案】（1）證明見詳解；（2）

【解析】

（1）由直線垂直于，可得線面垂直，再由線面垂直推證面面垂直即可；

（2）以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，通過求解兩平面法向量的夾角，從而求得對應(yīng)二面角的余弦值.

（1）證明：∵PA＝PD，M為AD中點，

∴PM⊥AD，

又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，

∴PM⊥平面ABCD，

又因為平面，

故.

由已知可得，tan，

∴∠ABM＝∠DAC，

又∵，

∴，

∴MB⊥AC，

又平面，

故可得平面，

又平面

∴平面PMB⊥平面PAC，即證.

（2）以M為坐標(biāo)原點，分別以MD，MP為x軸與z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：

則A（﹣1,0,0），D（1,0,0），C（1,1,0），P（0,0,2）．

設(shè)平面PAC的一個法向量為．

．

由，可得，

令z1＝1，得；

設(shè)平面PDC的一個法向量，

由，可得，

取z2＝1，得．

設(shè)所求二面角為θ，又為銳二面角，

故.

二面角A﹣PC﹣D的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在多面體中，四邊形為矩形，，均為等邊三角形，，．

（Ⅰ）過作截面與線段交于點，使得平面，試確定點的位置，并予以證明；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求直線與平面所成角的正弦值．

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【題目】在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足acosB+bcosA=2ccosC．

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已知兩組所選技工生產(chǎn)的合格零件的平均數(shù)均為.

（1）分別求出的值；

（2）分別求出甲乙兩組技工在單位時間內(nèi)加工的合格零件的方差和,并由此估計兩組技工的生產(chǎn)水平；

（3）若單位時間內(nèi)生產(chǎn)的合格零件個數(shù)不小于平均數(shù)的技工即為“生產(chǎn)能手”，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否認為該車間50%以上的技工都是生產(chǎn)能手？

(注：方差,其中為數(shù)據(jù)的平均數(shù)).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

①當(dāng)時，函數(shù)有______零點；

②若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是______.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，為自然對數(shù)的底數(shù)．

（1）當(dāng)時，判斷零點個數(shù)并求出零點；

（2）若函數(shù)存在兩個不同的極值點，，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，∠ABC=，BC=CD=CE=1，EC⊥平面ABCD，EFAC，P是線段EF上的動點

（1）求證：平面BCE⊥平面ACEF；

（2）求平面PAB與平面BCE所成銳二面角的最小值

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)＝ax＋x2，g(x)＝xlna，a>1.

(1)求證：函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；

(2)若函數(shù)y＝－3有四個零點，求b的取值范圍；

(3)若對于任意的x1，x2∈[－1,1]時，都有|F(x2)－F(x1)|≤e2－2恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在極坐標(biāo)系中，直線的方程為2ρcosθ+5ρsinθ﹣8＝0，曲線E的方程為ρ＝4cosθ．

（1）以極點O為直角坐標(biāo)原點，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，分別寫出直線l與曲線E的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)直線l與曲線E交于A，B兩點，點C在曲線E上，求△ABC面積的最大值，并求此時點C的直角坐標(biāo)．

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