Question

【題目】在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足acosB+bcosA=2ccosC．

（1）求角C的大小；

（2）若△ABC的周長為3，求△ABC的內切圓面積S的最大值．

Answer 1

【答案】（1）C=（2）

【解析】

(1)先根據正弦定理化邊為角，化簡即得cosC= ，解得結果，(2)先根據余弦定理得3+ab=2（a+b），再根據基本不等式得ab最大值，根據內切圓性質得內切圓半徑為ab，即可求得內切圓面積S的最大值．

解：（Ⅰ）因為acosB+bcosA=2ccosCsinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，

即sin（A+B）=2sinCcosC，

而sin（A+B）=sinC＞0，則cosC=，

又C∈（0，π），

所以C=．

（Ⅱ）令△ABC的內切圓半徑為R，有absin=3R，則R=ab，

由余弦定理得a2+b2-ab=（3-a-b）2，化簡得3+ab=2（a+b），

而a+b≥2，故3+ab≥4，解得≥3或≤1．

若≥3，則a，b至少有一個不小于3，這與△ABC的周長為3矛盾；

若≤1，則當a=b=1=c時，R取最大值．

綜上，知△ABC的內切圓最大面積值為Smax=π（）2=．