Question

已知函數(shù)(為非零常數(shù)).
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值； 
（Ⅱ）若恒成立，求的值；
（Ⅲ）對(duì)于增區(qū)間內(nèi)的三個(gè)實(shí)數(shù)(其中)，
證明：.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）由已知得：，


. 設(shè)
，在內(nèi)是減函數(shù)，，即同理，∴

試題分析：（Ⅰ）由，得，                 1分
令，得. 當(dāng)，知在單調(diào)遞減；
當(dāng)，知在單調(diào)遞增；
故的最小值為.                      4分
（Ⅱ），當(dāng)時(shí)，恒小于零，單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí)，，不符合題意.                    5分
對(duì)于，由得
當(dāng)時(shí)，，∴在單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，∴在單調(diào)遞增；
于是的最小值為.                   7分
只需成立即可，構(gòu)造函數(shù).
∵，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則，僅當(dāng)時(shí)取得最大值，故       9分
（Ⅲ）由已知得：，


. 設(shè)
，在內(nèi)是減函數(shù)，，即同理，∴
點(diǎn)評(píng)：求函數(shù)最值要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間確定最值點(diǎn)位置，第二問中不等式恒成立求參數(shù)范圍常采用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，第三問將證明不等式轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值