Question

【題目】如圖所示，某街道居委會(huì)擬在地段的居民樓正南方向的空白地段上建一個(gè)活動(dòng)中心，其中米．活動(dòng)中心東西走向，與居民樓平行. 從東向西看活動(dòng)中心的截面圖的下部分是長(zhǎng)方形，上部分是以為直徑的半圓. 為了保證居民樓住戶的采光要求，活動(dòng)中心在與半圓相切的太陽(yáng)光線照射下落在居民樓上的影長(zhǎng)不超過(guò)米，其中該太陽(yáng)光線與水平線的夾角滿足.

（1）若設(shè)計(jì)米，米，問(wèn)能否保證上述采光要求？

（2）在保證上述采光要求的前提下，如何設(shè)計(jì)與的長(zhǎng)度，可使得活動(dòng)中心的截面面積最大？（注：計(jì)算中取3）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）能（Ⅱ）米且米

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由條件知研究直線與圓相切，所以建立坐標(biāo)系：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，，確定圓的方程，求出切線方程，解出切線與直線交點(diǎn)，最后判斷是否滿足不超過(guò)米這個(gè)條件（Ⅱ）同（1）建立坐標(biāo)系，設(shè)立圓的方程：圓心為，半徑為，求出切線方程，解出切線與直線交點(diǎn)，根據(jù) 不超過(guò)米這個(gè)條件列參數(shù)限制條件，最后根據(jù)活動(dòng)中心的截面面積關(guān)系式求最值：

試題解析：解：如圖所示，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系．

（1）因?yàn)?/span>，，所以半圓的圓心為，

半徑．設(shè)太陽(yáng)光線所在直線方程為，

即， ...............2分

則由，

解得或（舍）.

故太陽(yáng)光線所在直線方程為， ...............5分

令，得米米.

所以此時(shí)能保證上述采光要求. ...............7分

（2）設(shè)米，米，則半圓的圓心為，半徑為．

方法一：設(shè)太陽(yáng)光線所在直線方程為，

即，由，

解得或（舍）. ...............9分

故太陽(yáng)光線所在直線方程為，

令，得，由，得. ...............11分

所以

.

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).

所以當(dāng)米且米時(shí)，可使得活動(dòng)中心的截面面積最大. .............16分

方法二：欲使活動(dòng)中心內(nèi)部空間盡可能大，則影長(zhǎng)EG恰為米，則此時(shí)點(diǎn)為，

設(shè)過(guò)點(diǎn)G的上述太陽(yáng)光線為，則所在直線方程為y－＝－(x－30)，

即． ........10分

由直線與半圓H相切，得．

而點(diǎn)H(r，h)在直線的下方，則3r＋4h－100＜0，

即，從而． ...............13分

又.

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).

所以當(dāng)米且米時(shí)，可使得活動(dòng)中心的截面面積最大. ...........16分