【題目】已知函數(shù)
(1)若,方程的實(shí)根個(gè)數(shù)不少于2個(gè),證明:
(2)若在,處導(dǎo)數(shù)相等,求的取值范圍,使得對(duì)任意的,,恒有成立.
【答案】(1)證明見解析;(2)
【解析】
(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性及最值,分析函數(shù)的大致圖象,即可求出滿足條件的的取值范圍;
(2)先由題意知在不單調(diào)得,分與兩種情況,研究的最大值,從而得證.
(1)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為:.
函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為:.
時(shí),,單調(diào)遞增;
時(shí),單調(diào)遞減
因?yàn)?/span>時(shí),時(shí).
所以有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,(其中).
時(shí),即在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞減;
時(shí),即在上單調(diào)遞增.
又因?yàn)?/span>時(shí),時(shí),
所以,
故即有實(shí)根個(gè)數(shù)不少于2個(gè)
由題意得,.
因?yàn)?/span>,所以.
故.
(2)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).
由題意得,在不單調(diào)
所以,
函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為:.
又時(shí),單調(diào)遞增:時(shí),單調(diào)遞減
所以a的取值范圍是
因?yàn)?/span>時(shí),時(shí).
所以,.
由得,.
而,其中.
設(shè),,函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)
.即在上單調(diào)遞增
所以,.即.
因此,.
故.即在上單調(diào)遞減.
若,則
.即在上單調(diào)遞減.
所以
若,因?yàn)?/span>,所以必有,使得當(dāng)時(shí),
即在上單調(diào)遞增,這與恒成立矛盾.
綜上,.(開閉區(qū)間不作要求)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為,為坐標(biāo)原點(diǎn),過點(diǎn)的直線與交于、兩點(diǎn).
(1)若直線與圓相切,求直線的方程;
(2)若直線與軸的交點(diǎn)為,且,,試探究:是否為定值.若為定值,求出該定值,若不為定值,試說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓方程為.
(1)設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、,點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng),求的值;
(2)設(shè)直線和圓相切,和橢圓交于、兩點(diǎn),為原點(diǎn),線段、分別和圓交于、兩點(diǎn),設(shè)、的面積分別為、,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】農(nóng)歷五月初五是端午節(jié),民間有吃粽子的習(xí)慣,粽子又稱粽籺,俗稱粽子,古稱“角黍”,是端午節(jié)大家都會(huì)品嘗的食品,傳說這是為了紀(jì)念戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的楚國(guó)大臣、愛國(guó)主義詩人屈原.如圖,平行四邊形形狀的紙片是由六個(gè)邊長(zhǎng)為2的正三角形組成的,將它沿虛線對(duì)折起來,可以得到如圖所示粽子形狀的六面體,則該六面體的體積為______________
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓,右頂點(diǎn),上頂點(diǎn)為B,左右焦點(diǎn)分別為,且,過點(diǎn)A作斜率為的直線l交橢圓于點(diǎn)D,交y軸于點(diǎn)E.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)P為的中點(diǎn),是否存在定點(diǎn)Q,對(duì)于任意的都有?若存在,求出點(diǎn)Q;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】圓周率π是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的數(shù),歷史上許多中外數(shù)學(xué)家利用各種辦法對(duì)π進(jìn)行了估算.現(xiàn)利用下列實(shí)驗(yàn)我們也可對(duì)圓周率進(jìn)行估算.假設(shè)某校共有學(xué)生N人,讓每人隨機(jī)寫出一對(duì)小于1的正實(shí)數(shù)a,b,再統(tǒng)計(jì)出a,b,1能構(gòu)造銳角三角形的人數(shù)M,利用所學(xué)的有關(guān)知識(shí),則可估計(jì)出π的值是( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍;
(Ⅱ)恒成立,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓,右頂點(diǎn),上頂點(diǎn)為B,左右焦點(diǎn)分別為,且,過點(diǎn)A作斜率為的直線l交橢圓于點(diǎn)D,交y軸于點(diǎn)E.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)P為的中點(diǎn),是否存在定點(diǎn)Q,對(duì)于任意的都有?若存在,求出點(diǎn)Q;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程和直線l的直角坐標(biāo)方程;
(2)若射線與曲線C交于點(diǎn)A(不同于極點(diǎn)O),與直線l交于點(diǎn)B,求的最大值.
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