Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1 ， F2 ， 且F1 ， F2與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)Q構(gòu)成一個(gè)等腰直角三角形，點(diǎn)P（ ， ）在橢圓C上．
（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過F2作互相垂直的兩直線AB，CD分別交橢圓于點(diǎn)A，B，C，D，且M，N分別是弦AB，CD的中點(diǎn)，求△MNF2面積的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵橢圓 =1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)P（ ， ），
且F1 ， F2與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)Q構(gòu)成一個(gè)等腰直角三角形，
∴ ，解得a2=2，b2=1，
∴橢圓方程為 ；
（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為x=my+1，m≠0，
則直線CD的方程為x=﹣ y+1，
聯(lián)立 ，消去x得（m2+2）y2+2my﹣1=0，
設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），則y1+y2=﹣ ，y1y2= ，
∴x1+x2=（my1+1）+（my2+1）
=m（y1+y2）+2= ，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得M（ ），
將M的坐標(biāo)中的m用﹣ 代換，得CD的中點(diǎn)N（ ），
kMN= ，
直線MN的方程為y+ = （x﹣ ），
即為y= ，
令 ，可得x= ，即有y=0，
則直線MN過定點(diǎn)H，且為H（ ，0），
∴△F2MN面積為S= |F2H||yM﹣yN|
= （1﹣ ）| |= | |= | |，
令m+ =t（t≥2），由于2t+ 的導(dǎo)數(shù)為2﹣ ，且大于0，即有在[2，+∞）遞增．
即有S= = 在[2，+∞）遞減，
∴當(dāng)t=2，即m=1時(shí)，S取得最大值，為 ；
則△MNF2面積的最大值為
【解析】（Ⅰ）由已知得到關(guān)于a，b，c的方程組，求解方程組可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為x=my+1，m≠0，則直線CD的方程為x=﹣ y+1，分別代入橢圓方程，由于韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得中點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，求得斜率和直線方程，即可得到定點(diǎn)H，則△MNF2面積為S= |F2H||yM﹣yN|，化簡(jiǎn)整理，再令m+ =t（t≥2），由于函數(shù)的單調(diào)性，即可得到最大值．