【題目】如圖,曲線c1:y2=2px(p>0)與曲線c2:(x﹣6)2+y2=36只有三個公共點O,M,N,其中O為坐標(biāo)原點,且 =0.
(1)求曲線c1的方程;
(2)過定點M(3,2)的直線l與曲線c1交于A,B兩點,若點M是線段AB的中點,求線段AB的長.
【答案】
(1)解:由對稱性知MN⊥x軸于點(6,0),且|MN|=12
所以M(6,6),
所以62=2p×6
所以p=3
所以曲線為y2=6x
(2)解:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)
因為(3,2)是AB中點
所以x1+x2=6,y1+y2=4
則由點差法得k= =
所以直線l:3x﹣2y﹣5=0
由
所以由韋達定理
所以|AB|= =
【解析】(1)由對稱性知MN⊥x軸于點(6,0),且|MN|=12,可得M的坐標(biāo),代入拋物線方程,即可求曲線c1的方程;(2)利用點差法求出直線AB的斜率,可得AB的方程,與拋物線方程聯(lián)立,結(jié)合弦長公式,可求線段AB的長度.
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【題目】△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知sinA+sinC=psinB且 .若角B為銳角,則p的取值范圍是( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】下列函數(shù)中,與y= 的奇偶性和單調(diào)性都相同的是( )
A.f(x)=x﹣1
B.f(x)=x
C.f(x)=x2
D.f(x)=x3
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【題目】已知F1 , F2是橢圓和雙曲線的公共焦點,P是它們的一個公共點.且∠F1PF2= ,則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為( )
A.
B.
C.3
D.2
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【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點O為圓心的圓與直線: 相切.
(1)求圓O的方程;
(2)若圓O上有兩點M、N關(guān)于直線x+2y=0對稱,且 ,求直線MN的方程.
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【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1 , F2 , 且F1 , F2與短軸的一個頂點Q構(gòu)成一個等腰直角三角形,點P( , )在橢圓C上.
(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)過F2作互相垂直的兩直線AB,CD分別交橢圓于點A,B,C,D,且M,N分別是弦AB,CD的中點,求△MNF2面積的最大值.
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【題目】已知.
(1)證明在上為增函數(shù);
(2)當(dāng)時,解不等式;
(3)若在上恒成立,求的最大整數(shù)值.
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【題目】已知定義域為R的奇函數(shù)f(x)滿足f(log2x)= .
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)判斷并證明f(x)在定義域 R的單調(diào)性;
(3)若對任意的t∈R,不等式f(t2﹣2t)+f(3t2﹣k)<0恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.
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【題目】已知半徑為5的圓的圓心在x軸上,圓心的橫坐標(biāo)是整數(shù),且與直線4x+3y﹣29=0相切.
(Ⅰ)求圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線ax﹣y+5=0(a>0)與圓相交于A,B兩點,求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,是否存在實數(shù)a,使得弦AB的垂直平分線l過點P(﹣2,4),若存在,求出實數(shù)a的值;若不存在,請說明理由.
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