已知橢圓C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F在軸上,離心率,點(diǎn)在橢圓C上.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若斜率為的直線交橢圓與、兩點(diǎn),且、、成等差數(shù)列,點(diǎn)M(1,1),求的最大值.
(1);(2).
解析試題分析:(1)設(shè)出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,根據(jù)已知條件解出即可;(2)由題意可知,直線的斜率存在且不為,故可設(shè)直線的方程為,A,B點(diǎn)坐標(biāo)為,聯(lián)立直線和橢圓方程,利用韋達(dá)定理得,然后利用直線的斜率依次成等差數(shù)列得出,又,所以,即,然后求出弦長,計(jì)算三角形面積,求其最大值.
試題解析:1) 設(shè)橢圓方程為,由題意知
,…①
,…②
聯(lián)立①②解得,,所以橢圓方程為 (4分)
2) 由題意可知,直線的斜率存在且不為,故可設(shè)直線的方程為
滿足,
消去得.
,
且,.
因?yàn)橹本的斜率依次成等差數(shù)列,
所以,,即,
又,所以,
即. (9分)
聯(lián)立 易得弦AB的長為
又點(diǎn)M到的距離
所以
平方再化簡求導(dǎo)易得時(shí)S取最大值 (13分)
考點(diǎn):橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的離心率、直線方程、等差數(shù)列、點(diǎn)到直線的距離公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線,為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)直線與
拋物線交于不同兩點(diǎn)
(1)求證:·為常數(shù);
(2)求滿足的點(diǎn)的軌跡方程。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,點(diǎn)分別是橢圓C:的左、右焦點(diǎn),過點(diǎn)作軸的垂線,交橢圓的上半部分于點(diǎn),過點(diǎn)作的垂線交直線于點(diǎn).
(1)如果點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,4),求橢圓的方程;
(2)試判斷直線與橢圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù),并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離的差等于1.
(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)F作兩條斜率存在且互相垂直的直線l1,l2,設(shè)l1與軌跡C相交于點(diǎn)A,B,l2與軌跡C相交于點(diǎn)D,E,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓C的中心為直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn),焦點(diǎn)在s軸上,它的一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是7和1.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn),M為過P且垂直于x軸的直線上的點(diǎn),=λ,求點(diǎn)M的軌跡方程,并說明軌跡是什么曲線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的離心率為,直線與以原點(diǎn)為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)如圖,、、是橢圓的頂點(diǎn),是橢圓上除頂點(diǎn)外的任意點(diǎn),直線交軸于點(diǎn),直線交于點(diǎn),設(shè)的斜率為,的斜率為,求證:為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,左、右焦瞇分別為F1,F(xiàn)2,且|F1F2|=2,點(diǎn)P(1,)在橢圓C上.
(I)求橢圓C的方程;
(II)過F1的直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),且的面積為,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知左焦點(diǎn)為的橢圓過點(diǎn).過點(diǎn)分別作斜率為的橢圓的動(dòng)弦,設(shè)分別為線段的中點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若為線段的中點(diǎn),求;
(3)若,求證直線恒過定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線的焦點(diǎn)為,過任作直線(與軸不平行)交拋物線分別于兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)為,
(1)求證:直線與軸交點(diǎn)必為定點(diǎn);
(2)過分別作拋物線的切線,兩條切線交于,求的最小值,并求當(dāng)取最小值時(shí)直線的方程.
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