已知左焦點為的橢圓過點．過點分別作斜率為的橢圓的動弦，設(shè)分別為線段的中點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若為線段的中點，求；
（3）若，求證直線恒過定點，并求出定點坐標．

（1）；（2）；（3）證明過程詳見解析，.

解析試題分析：本題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、直線的斜率、中點坐標等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查運算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.第一問，先利用左焦點坐標得右焦點坐標，然后利用定義，求得，而，得，得出結(jié)論，橢圓為；（2）先將點坐標代入橢圓，兩者作差得，而代入得，利用韋達定理求，同理求，用坐標求，用點和點斜式寫出直線方程，利用化簡，可分析過定點.
試題解析：（1）由題意知設(shè)右焦點
       2分

橢圓方程為         4分
（2）設(shè) 則  ①  ②      6分
② ①，可得                       8分
（3）由題意，設(shè)
直線，即 代入橢圓方程并化簡得

                             10分
同理                         11分
當時， 直線的斜率
直線的方程為
 又 化簡得 此時直線過定點（0，）   13分
當時，直線即為軸，也過點（0，）
綜上，直線過定點.                                     14分
考點：1.橢圓的定義；2.中點弦的解決方法.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1.
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若直線l：與橢圓C相交于A，B兩點（A，B不是左右頂點），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點。求證: 直線l過定點，并求出該定點的坐標.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C的中心在原點，焦點F在軸上，離心率，點在橢圓C上.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若斜率為的直線交橢圓與、兩點，且、、成等差數(shù)列，點M（1,1），求的最大值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

以點F1（－1,0），F(xiàn)2（1,0）為焦點的橢圓C經(jīng)過點（1，）。
（I）求橢圓C的方程；
（II）過P點分別以為斜率的直線分別交橢圓C于A，B，M，N，求證： 使得

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知圓，圓，動圓與已知兩圓都外切.
（1）求動圓的圓心的軌跡的方程；
（2）直線與點的軌跡交于不同的兩點、，的中垂線與軸交于點，求點的縱坐標的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

(本小題滿分12分)已知圓，圓，動圓與圓外切并且與圓內(nèi)切，圓心的軌跡為曲線。
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）是與圓，圓都相切的一條直線，與曲線交于，兩點，當圓的半徑最長是，求。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的右焦點為，上頂點為B，離心率為，圓與軸交于兩點
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，過點與圓相切的直線與的另一交點為，求的面積

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在直角坐標系中,點到兩點的距離之和等于4,設(shè)點的軌跡為,直線與交于兩點.
(1)寫出的方程;
(2)若點在第一象限,證明當時,恒有.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的長軸兩端點分別為，是橢圓上的動點，以為一邊在軸下方作矩形，使，交于點，交于點．

（Ⅰ）如圖（1），若，且為橢圓上頂點時，的面積為12，點到直線的距離為，求橢圓的方程；
（Ⅱ）如圖（2），若，試證明：成等比數(shù)列．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案