【題目】已知函數(shù).
(1)設(shè),當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間及極大值;
(2)設(shè)函數(shù)有兩個極值點,
①求實數(shù)的取值范圍;
②求證:.
【答案】(1)單調(diào)減區(qū)間為,,.(2)①.②見解析
【解析】
(1)求出函數(shù),再求出其導(dǎo)函數(shù),令,解出,根據(jù)單調(diào)性和極值求法即可求解.
(2)①函數(shù)有兩個極值點,即方程有兩個不等實根.分離參數(shù),轉(zhuǎn)化成圖像有兩個交點,利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性,即可得到實數(shù)的取值范圍;②不妨設(shè),由①知,且有,可得,將可化.再構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)證出,即可證明.
(1),
.
當(dāng)時,.
令,解得,
當(dāng)時,,為單調(diào)減函數(shù);
當(dāng)時,,為單調(diào)增函數(shù);
當(dāng)時,,為單調(diào)減函數(shù),
函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為,,.
(2)①函數(shù)有兩個極值點,
方程有兩個不等實根.
由,顯然時方程無根,.
設(shè),則.
令,得.
當(dāng)時,,為單調(diào)遞增函數(shù);
當(dāng)時,,為單調(diào)遞減函數(shù).
且當(dāng)時,;當(dāng)時,,
..
實數(shù)的取值范圍是.
②證明:不妨設(shè),由①知,且有
可化為.
又.
即證,
即證,即.
設(shè),即證當(dāng)時成立.
設(shè),
,
在上為增函數(shù).
,即成立.
成立.
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【題目】已知過拋物線焦點且傾斜角的直線與拋物線交于點的面積為.
(I)求拋物線的方程;
(II)設(shè)是直線上的一個動點,過作拋物線的切線,切點分別為直線與直線軸的交點分別為點是以為圓心為半徑的圓上任意兩點,求最大時點的坐標(biāo).
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【題目】已知,分別為雙曲線的左、右焦點,點P是以為直徑的圓與C在第一象限內(nèi)的交點,若線段的中點Q在C的漸近線上,則C的兩條漸近線方程為__________.
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【題目】已知函數(shù)f (x)=ax﹣ex(a∈R),g(x)=.
(Ⅰ)求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)x0∈(0,+∞),使不等式f (x)≤g(x)﹣ex成立,求a的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時,若不等式在時恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】剪紙藝術(shù)是最古老的中國民間藝術(shù)之一,作為一種鏤空藝術(shù),它能給人以視覺上以透空的感覺和藝術(shù)享受.在中國南北方的剪紙藝術(shù),通過一把剪刀、一張紙、就可以表達生活中的各種喜怒哀樂.如圖是一邊長為1的正方形剪紙圖案,中間黑色大圓與正方形的內(nèi)切圓共圓心,圓與圓之間是相切的,且中間黑色大圓的半徑是黑色小圓半徑的2倍,若在正方形圖案上隨機取一點,則該點取自白色區(qū)域的概率為( )
A.B.C.D.
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【題目】某市政府為了節(jié)約生活用電,計劃在本市試行居民生活用電定額管理,即確定一戶居民月用電量標(biāo)準(zhǔn),用電量不超過的部分按平價收費,超出的部分按議價收費.為此,政府調(diào)查了100戶居民的月平均用電量(單位:度),以,,,,,,分組的頻率分布直方圖如圖所示,用電量在的居民戶數(shù)比用電量在的居民戶數(shù)多11戶.
(1)求直方圖中,的值;
(2)(i)用樣本估計總體,如果希望至少85%的居民月用電量低于標(biāo)準(zhǔn),求月用電量的最低標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)定為多少度,并說明理由;
(ii)若將頻率視為概率,現(xiàn)從該市所有居民中隨機抽取3戶,其中月用電量低于(i)中最低標(biāo)準(zhǔn)的居民戶數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)),以坐標(biāo)原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.
(1)求C1的極坐標(biāo)方程;
(2)若C1與曲線C2:ρ=2sinθ交于A,B兩點,求|OA||OB|的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,是等邊三角形,,,.
(1)若,求三棱錐的體積;
(2)若,則在線段上是否存在一點,使平面平面.若存在,求線段的長;若不存在,請說明理由.
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