Question

【題目】如圖，在四棱錐中，是等邊三角形，，，.

（1）若，求三棱錐的體積；

（2）若，則在線(xiàn)段上是否存在一點(diǎn)，使平面平面.若存在，求線(xiàn)段的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，

【解析】

（1）由得，再證平面，即可計(jì)算出三棱錐的體積；

（2）當(dāng)是的三等分點(diǎn)時(shí)，滿(mǎn)足條件. 作，交于，連接，可證明，進(jìn)而證明平面平面.

（1）因?yàn)?/span>是等邊三角形，，所以.又因?yàn)?/span>，，

所以，所以.

又，平面，，所以平面.

所以三棱錐的體積；

（2）在線(xiàn)段上存在一點(diǎn)，使平面平面.此時(shí).

理由如下：

如圖，作，交于，連接，

因?yàn)?/span>，所以是的三等分點(diǎn)，可得，

因?yàn)?/span>，，，

所以，因?yàn)?/span>，所以，

因?yàn)?/span>，所以，所以，

因?yàn)?/span>，所以，所以，

因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面，

又，平面，平面，所以平面，

因?yàn)?/span>，平面，所以平面平面，

所以在線(xiàn)段上存在一點(diǎn)，使平面平面.此時(shí).