Question

如圖所示,O為坐標原點,過點P(2,0)且斜率為k的直線l交拋物線y²=2x于M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)兩點.

(1)寫出直線l的方程;

(2)求x₁x₂與y₁y₂的值;

(3)求證:OM⊥ON.

Answer 1

分析：

求x₁x₂及y₁y₂,可考慮用韋達定理.證明OM⊥ON,則可用k_OM·k_ON=-1或·=0來證明.

(1)解：直線l的方程為y=k(x-2)(k≠0).                           ①

(2)解：由①及y²=2x,消去y可得

k²x²-2(2k²+1)x+4k²=0.                                                   ②

點M、N的橫坐標x₁與x₂是②的兩個根,

由韋達定理,得x₁x₂==4.

由y₁²=2x₁,y₂²=2x₂,

得(y₁y₂)²=4x₁x₂=4×4=16.

由圖可知y₁y₂＜0,所以y₁y₂=-4.

(3)證明：設OM、ON的斜率分別為k₁、k₂,

則

由(2)可知,y₁y₂=-4,x₁x₂=4,

所以k₁k₂==-1.

所以OM⊥ON.

綠色通道：

本題的一般形式為直線l與拋物線y²=2px交于M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂)兩點,且直線l過點P(2p,0),則x₁x₂=4p,y₁y₂=-4p,OM⊥ON.