Question

如圖，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)C：y²=4x的焦點(diǎn)F．
（Ⅰ）若點(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離為，求直線(xiàn)l的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A是直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C在第一象限的交點(diǎn)．點(diǎn)B是以點(diǎn)F為圓心，|FA|為半徑的圓與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)．試判斷直線(xiàn)AB與拋物線(xiàn)C的位置關(guān)系，并給出證明．

Answer 1

【答案】分析：法一：（Ⅰ）拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F（1，0），當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，即x=1不符合題意．當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為：y=k（x-1），所以，由此能求出直線(xiàn)l的方程．
（Ⅱ）直線(xiàn)AB與拋物線(xiàn)相切．設(shè)A（x，y），則．因?yàn)閨BF|=|AF|=x+1，所以B（-x，0），由此能夠證明直線(xiàn)AB與拋物線(xiàn)相切．
法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）直線(xiàn)AB與拋物線(xiàn)相切，設(shè)A（x，y），則．設(shè)圓的方程為：由此能夠證明直線(xiàn)AB與拋物線(xiàn)相切．
解答：解法一：（Ⅰ）拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F（1，0），…（1分）
當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，即x=1不符合題意．…（2分）
當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，
設(shè)直線(xiàn)l的方程為：y=k（x-1），即kx-y-k=0．…（3分）
所以，，解得：．…（5分）
故直線(xiàn)l的方程為：，即．…（6分）
（Ⅱ）直線(xiàn)AB與拋物線(xiàn)相切，證明如下：…（7分）
（法一）：設(shè)A（x，y），則．…（8分）
因?yàn)閨BF|=|AF|=x+1，所以B（-x，0）．…（9分）
所以直線(xiàn)AB的方程為：，
整理得：…（1）
把方程（1）代入y²=4x得：，…（10分）
，
所以直線(xiàn)AB與拋物線(xiàn)相切．…（12分）
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）直線(xiàn)AB與拋物線(xiàn)相切，證明如下：…（7分）
設(shè)A（x，y），則．…（8分）
設(shè)圓的方程為：，…（9分）
當(dāng)y=0時(shí)，得x=1±（x+1），
因?yàn)辄c(diǎn)B在x軸負(fù)半軸，所以B（-x，0）．…（9分）
所以直線(xiàn)AB的方程為，
整理得：…（1）
把方程（1）代入y²=4x得：，…（10分）
，
所以直線(xiàn)AB與拋物線(xiàn)相切．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本小題考查拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等．