Question

（本小題滿分12分）設(shè)雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，離心率為2.
（Ⅰ）求此雙曲線的漸近線的方程；
（Ⅱ）若、分別為上的點(diǎn)，且，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線；

Answer 1

（Ⅰ），漸近線方程為；（Ⅱ）
則M的軌跡是中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為的橢圓。

試題分析：（Ⅰ）利用離心率為2，結(jié)合c²=a²+3，可求a，c的值，從而可求雙曲線方程，即可求得漸近線方程；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點(diǎn)M（x，y），利用2|AB|=5|F₁F₂|，建立方程，根據(jù)A、B分別為l₁、l₂上的點(diǎn)，化簡(jiǎn)可得軌跡方程及對(duì)應(yīng)的曲線．
解：（Ⅰ）

，漸近線方程為
（Ⅱ）設(shè)，AB的中點(diǎn)


則M的軌跡是中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為的橢圓。
點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是能理解雙曲線的性質(zhì)熟練的得到a,b,的值，注意焦點(diǎn)位置對(duì)于漸近線的影響。同時(shí)能利用坐標(biāo)關(guān)系式得到軌跡方程。