Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知直線l過定點P（1，1），且傾斜角為 ，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸的坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為 ．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程與直線l的參數(shù)方程；
（2）若直線l與曲線C相交于不同的兩點A，B，求|AB|及|PA||PB|的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵曲線C的極坐標(biāo)方程為 ，

∴ρ2=2ρcosθ+3，

將ρ2=x2+y2，ρcosθ=x代入，得x2+y2=2x+3，即x2+y2﹣2x﹣3=0．

∵直線l過定點P（1，1），且傾斜角為 ，

則直線l的參數(shù)方程為 ，即 （t為參數(shù)）

（2）解：將直線l的參數(shù)方程代入x2+y2﹣2x﹣3=0，得 ，

設(shè)方程兩根分別為t1，t2，則 ，

∴AB的長|AB|=|t1﹣t2|= = = ，

|PA||PB|=|t1t2|=3

【解析】（1）曲線C的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)為ρ2=2ρcosθ+3，將ρ2=x2+y2 ， ρcosθ=x代入，能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程；由直線l過定點P（1，1），且傾斜角為 ，能求出直線l的參數(shù)方程．（2）將直線l的參數(shù)方程代入x2+y2﹣2x﹣3=0，得 ，設(shè)方程兩根分別為t1 ， t2 ， 利用韋達(dá)定理及弦長公式能求出|AB|及|PA||PB|的值．