在“猜數(shù)字”的游戲中,主持人在1~127中確定一個數(shù)字作為目標數(shù)字,記在心里,讓小光來猜,如果沒有猜對,主持人會告訴小光,他猜的數(shù)字比目標數(shù)字大還是小,再讓他猜,直到猜出目標數(shù)字為止.小光決定每次選擇數(shù)字范圍中最中間的數(shù)來猜目標數(shù)字,因為這樣能最有效地縮小范圍.
(1)如果主持人確定的目標數(shù)字是48,小光需要經(jīng)過幾次猜測,才能正確猜出目標數(shù)字?
(2)如果主持人等可能地在1~127中隨機確定一個數(shù)字作為目標數(shù)字,小光平均要經(jīng)過幾次猜測才能正確猜出目標數(shù)字?
【答案】
分析:(1)由題意知當(dāng)目標數(shù)字是48時,每次選擇數(shù)字范圍中最中間的數(shù)來猜目標數(shù)字可猜64,32,48共3次可猜出目標;
(2)選擇數(shù)字范圍中最中間的數(shù)來猜目標,相當(dāng)于要研究目標數(shù)字中含因數(shù)2的情況,列舉出可以猜出數(shù)字的所有情況,做出期望值.
解答:解:可把1,2,3,,127這127個自然數(shù)看成是開區(qū)間(0,128)中的自然數(shù)
(1)當(dāng)目標數(shù)字是48時,每次選擇數(shù)字范圍中最中間的數(shù)來猜目標數(shù)字
可猜64,32,48共3次可猜出目標;
(2)選擇數(shù)字范圍中最中間的數(shù)來猜目標,相當(dāng)于要研究目標數(shù)字中含因數(shù)2的情況,故可如下分類:
1×2°,3×2°,5×2°,…,127×2°這64個數(shù)均猜7次
1×2
1,3×2
1,5×2
1,…,63×2
1這32個數(shù)均猜6次
1×2
2,3×2
2,5×2
2,…,31×2
2這16個數(shù)均猜5次
1×2
3,3×2
3,5×2
3,••,15×2
3這8個數(shù)均猜4次
1×2
4,3×2
4,5×2
4,7×2
4這4個數(shù)均猜3次
1×2
5,3×2
5這2個數(shù)均猜2次
1×2
6這1個數(shù)只猜1次
平均期望次數(shù)為
+2×2+1×1)=6.055
點評:本題考查平均數(shù),考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題,這種題目題意比較難理解,是一個中檔題目,解題的關(guān)鍵是看清題目的本質(zhì).