【題目】如圖,在四棱錐中,底面是矩形,的中點,底面,.

1)求證:平面;

2)求鈍二面角的余弦值.

【答案】1)證明見解析;(2.

【解析】

1)由線面垂直的性質(zhì)定理與矩形的性質(zhì)可證,再由線面垂直的判定定理可證平面,即,又由等腰三角形三線合一可知,最后由線面垂直的判定定理可證;

2)由已知三條直線兩兩垂直,于是可以分別以射線、軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系,進而表示點B,P,C,D的坐標(biāo),即可表示向量,再分別表示平面與平面的法向量,最后由數(shù)量積計算夾角的余弦值.

1)證明:∵平面,∴.

∵四邊形是矩形,所以,

平面,∴.

,的中點,∴

平面.

2)由已知三條直線兩兩垂直,于是可以分別以射線、軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系.

,

所以

設(shè)平面的法向量為,則

,令,則.

設(shè)平面的法向量為,則

,令,則.

.

設(shè)二面角的平面角為,由已知為鈍角,

.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖是某直三棱柱被削去上底后所得幾何體的左視圖、俯視圖、直觀圖,在直觀圖中,MBD的中點,左視圖是直角梯形,俯視圖是等腰直角三角形,有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示.

Ⅰ)求該幾何體的表面積和體積;

Ⅱ)求點C到平面MAB的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某書店剛剛上市了《中國古代數(shù)學(xué)史》,銷售前該書店擬定了5種單價進行試銷,每種單價(元)試銷l天,得到如表單價(元)與銷量(冊)數(shù)據(jù):

單價(元)

18

19

20

21

22

銷量(冊)

61

56

50

48

45

(l)根據(jù)表中數(shù)據(jù),請建立關(guān)于的回歸直線方程:

(2)預(yù)計今后的銷售中,銷量(冊)與單價(元)服從(l)中的回歸方程,已知每冊書的成本是12元,書店為了獲得最大利潤,該冊書的單價應(yīng)定為多少元?

附:,,.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某家庭進行理財投資,根據(jù)長期收益率市場預(yù)測,投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比,且投資1萬元時的收益為萬元,投資股票等風(fēng)險型產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比,且投資1萬元時的收益為0.5萬元,

1)分別寫出兩種產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)關(guān)系;

2)該家庭現(xiàn)有20萬元資金,全部用于理財投資,問:怎樣分配資金能使投資獲得最大收益,其最大收益為多少萬元?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】目前,新冠病毒引發(fā)的肺炎疫情在全球肆虐,為了解新冠肺炎傳播途徑,采取有效防控措施,某醫(yī)院組織專家統(tǒng)計了該地區(qū)500名患者新冠病毒潛伏期的相關(guān)信息,數(shù)據(jù)經(jīng)過匯總整理得到如圖所示的頻率分布直方圖(用頻率作為概率).潛伏期不高于平均數(shù)的患者,稱為“短潛伏者”,潛伏期高于平均數(shù)的患者,稱為“長潛伏者”.

1)求這500名患者潛伏期的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表),并計算出這500名患者中“長潛伏者”的人數(shù);

2)為研究潛伏期與患者年齡的關(guān)系,以潛伏期是否高于平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)進行分層抽樣,從上述500名患者中抽取300人,得到如下表格.

i)請將表格補充完整;

短潛伏者

長潛伏者

合計

60歲及以上

90

60歲以下

140

合計

300

ii)研究發(fā)現(xiàn),某藥物對新冠病毒有一定的抑制作用,現(xiàn)需在樣本中60歲以下的140名患者中按分層抽樣方法抽取7人做I期臨床試驗,再從選取的7人中隨機抽取兩人做Ⅱ期臨床試驗,求兩人中恰有1人為“長潛伏者”的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】隨機抽取某校高一100名學(xué)生的期末考試英語成績(他們的英語成績都在80分140分之間),將他們的英語成績(單位:分)分成:,,,,六組,得到如圖所示的部分頻率分布直方圖,已知成績處于內(nèi)與內(nèi)的頻數(shù)之和等于成績處于內(nèi)的頻數(shù),根據(jù)圖中的信息,回答下列問題:

(1)求頻率分布直方圖中未畫出的小矩形的面積之和;

(2)求成績處于內(nèi)與內(nèi)的頻率之差;

(3)用分層抽樣的方法從成績不低于120分的學(xué)生中選取一個容量為6的樣本,將該樣本看成一個總體,從中任選2人,求這2人中恰有一人成績低于130分的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知點,,點滿足,記點的軌跡為

1)求的方程;

2)設(shè)直線交于、兩點,求的面積(為坐標(biāo)原點);

3)設(shè)是線段中垂線上的動點,過的兩條切線、,、分別為切點,判斷是否存在定點,直線始終經(jīng)過點,若存在,求出點的坐標(biāo),若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】甲乙兩地的高速公路全長166千米,汽車從甲地進入該高速公路后勻速行駛到乙地,車速(千米/時).已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成:可變部分為,固定部分為220.

(1)把全程運輸成本(元)表示為速度(千米/時)的函數(shù),并指出這個函數(shù)的定義域;

(2)汽車應(yīng)以多大速度行駛才能使全程運輸成本最。孔钚∵\輸成本為多少元?(結(jié)果保留整數(shù))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已如橢圓的左、右焦點分別為、,上的動點.

1)若,設(shè)點的橫坐標(biāo)為,試用解析式將表示成的函數(shù);

2)試根據(jù)的不同取值,討論滿足為等腰銳角三角形的點的個數(shù).

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